Type something and hit enter

author photo
By On
SOAL #56
Jika $g(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x-1}}$ dan $f(x)$ merupakan fungsi dengan $(f \circ g)(x)=\dfrac{2x-1}{x-1}$, maka himpunan penyelesaian $1 \leq f(x) \leq 6$ adalah ...
JAWABAN #56
\begin{split}
& (f \circ g)(x)=\dfrac{2x-1}{x-1}\\
\Rightarrow & f(g(x))=\dfrac{2x-1}{x-1}\\
\Rightarrow & f\left( \dfrac{1}{\sqrt{x-1}} \right)=\dfrac{2x-1}{x-1}
\end{split}
Misalkan $y=\dfrac{1}{\sqrt{x-1}}$, kuadratkan kedua ruasnya maka
\begin{split}
& y^2=\dfrac{1}{x-1}\\
\Rightarrow & x-1=\dfrac{1}{y^2}\\
\Rightarrow & x=\dfrac{1}{y^2}+1
\end{split}
Dengan demikian $f\left( \dfrac{1}{\sqrt{x-1}} \right)=\dfrac{2x-1}{x-1}$ dapat ditulis menjadi
\begin{split}
& f(y)=\dfrac{2\left( \dfrac{1}{y^2}+1 \right)-1}{\left( \dfrac{1}{y^2}+1 \right)-1}\\
\Rightarrow & f(y)=\dfrac{\dfrac{2}{y^2}+2-1}{\dfrac{1}{y^2}}\\
\Rightarrow & f(y)=\dfrac{\dfrac{2}{y^2}+1}{\dfrac{1}{y^2}} \times \dfrac{y^2}{y^2}\\
\Rightarrow & f(y)=2+y^2
\end{split}
Sehingga $f(x)=2+x^2$.
\begin{split}
& 1 \leq f(x) \leq 6\\
\Rightarrow & 1 \leq 2+x^2 \leq 6\\
\Rightarrow & -1 \leq x^2 \leq 4\\
\Rightarrow & x^2 \leq 4\\
\Rightarrow & x^2-4 \leq 0\\
\Rightarrow & (x+2)(x-2) \leq 0\\
\Rightarrow & -2 \leq x \leq 2
\end{split}

SOAL #57
Diketahui $f(g(x))=x^2-6x$ untuk $x \leq 0$ dan $g(x+3)=x$ untuk semua bilangan real $x$. Jika $f^{-1}$ ada, maka $(g \circ f^{-1})(0)$ adalah ...
JAWABAN #57
Ganti $x$ dengan $x-3$ pada persamaan $g(x+3)=x$ didapatkan $$g(x)=x-3$$
Misalkan $f^{-1}(0)=a$ maka $$f(a)=0$$
Diketahui pula $$f(g(x))=x^2-6x$$
Dari dua persamaan di atas $g(x)=a$ dan $x^2-6x=0$
\begin{split}
& x^2-6x=0\\
\Rightarrow & x(x-6)=0\\
\Rightarrow & x=0 \vee x=6
\end{split}
Karena $x \leq 0$ maka $x=0$. Substitusikan $x=0$ ke persamaan $g(x)=a$ diperoleh $x-3=a \Rightarrow a=-3$. Dengan demikian $f^{-1}(0)=-3$.

Jadi
\begin{split}
(g \circ f^{-1})(0) & =g(f^{-1}(0))\\
& =g(-3)\\
& =-3-3\\
& =-6
\end{split}

SOAL #58
$\displaystyle\int \sqrt{x^4+\dfrac{1}{x^4}+2}\ dx=\ldots$
JAWABAN #58
\begin{split}
& \int \sqrt{x^4+\dfrac{1}{x^4}+2}\ dx\\
= & \int \sqrt{\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)^2}\ dx\\
= & \int x^2+\dfrac{1}{x^2}\ dx\\
= & \int x^2+x^{-2}\ dx\\
= & \dfrac{1}{3}x^3-x^{-1}+C\\
= & \dfrac{1}{3}x^3-\dfrac{1}{x}+C
\end{split}

SOAL #59
Diketahui $f(x)=x^2-ax+2$ dan $g(x)=ax^2+x-1$ dengan $f'(1)+g'(1)=5$. Jika $h(x)=f(x)g(x)$, maka $h'(1)$ adalah ...
JAWABAN #59
$f'(x)=2x-a$ dan $g'(x)=2ax+1$

Karena $f'(1)+g'(1)=5$ maka
\begin{split}
& (2-a)+(2a+1)=5\\
\Rightarrow & a+3=5\\
\Rightarrow & a=2
\end{split}

Dengan demikian
$f(1)=1^2-2\cdot 1+2=1$
$g(1)=2\cdot 1^2+1-1=2$
$f'(1)=2\cdot 1-2=0$
$g'(1)=2\cdot 2\cdot 1+1=5$

Jadi $h'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$ dan
\begin{split}
h'(1) & =f'(1)g(1)+f(1)g'(1)\\
& =0\cdot 2+1\cdot 5\\
& =5
\end{split}

SOAL #60
Soal dan Pembahasan SBMPTN 2018 Matematika Dasar
Diketahui ΔABC siku-siku di A dengan AB : AC = 3 : 2. Titik D merupakan titik tengah BC dan melalui D ditarik garis memotong AB di titik E. Jika luas ACDE : luas BDE = 5 : 3, maka nilai AE : AB adalah ...
JAWABAN #60
Karena $AB : AC = 3 : 2$ maka dapat dimisalkan $AB = 3x$ dan $AC = 2x$.
Soal dan Pembahasan SBMPTN 2018 Matematika Dasar
Karena $D$ adalah titik tengah $BC$ maka $t=\frac{1}{2}AC=x$ seperti diilustrasikan pada gambar di atas.

luas ACDE : luas BDE = 5 : 3 maka luas ABC : BDE = 8 : 3
\begin{split}
& \dfrac{\frac{1}{2}3x \cdot 2x}{\frac{1}{2}EB\cdot t}=\dfrac{8}{3}\\
\Rightarrow & \dfrac{3x \cdot 2x}{EB\cdot x}=\dfrac{8}{3}\\
\Rightarrow & \dfrac{6x}{EB}=\dfrac{8}{3}\\
\Rightarrow & EB=\dfrac{18x}{8}=\dfrac{9}{4}x
\end{split}
Dengan demikian panjang $AE=3x-\dfrac{9}{4}x=\dfrac{3}{4}x$. Jadi $\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{\frac{3}{4}x}{3x}=\dfrac{1}{4}=1:4$

Part 1: nomer 46 - 50
Part 2: nomer 51 - 55
Part 3: nomer 56 - 60

1 komentar:

avatar

Tolong obsen jawaban soal di tampilkan terima kasih

Click to comment