Type something and hit enter

author photo
By On
SOAL #51
Diketahui $a$, $b$, dan $c$ adalah bilangan real positif dengan $ab > 1$. Jika $x+ay=c$, $bx+y=2c$, dan $x < y$, maka ...

JAWABAN #51
Misalkan
$x+ay=c$ adalah persamaan (1) dan
$bx+y=2c$ adalah persamaan (2)

Kalikan persamaan (1) dengan $b$ diperoleh sistem
\begin{split}
& bx+aby=bc\\
& bx+y=2c
\end{split}
Dengan mengurangkan kedua persamaan di atas diperoleh $aby-y=bc-2c \Rightarrow y=\dfrac{bc-2c}{ab-1}$

Kalikan persamaan (2) dengan $a$ diperoleh sistem
\begin{split}
& x+ay=c\\
& abx+ay=2ac
\end{split}
Dengan mengurangkan kedua persamaan di atas diperoleh $x-abx=c-2ac \Rightarrow x=\dfrac{2ac-c}{ab-1}$

Karena $x < y$ maka $$\dfrac{2ac-c}{ab-1} < \dfrac{bc-2c}{ab-1}$$ $ab > 1$ maka penyebut ruas kiri dan kanan pasti positif, sehingga $$2ac-c < bc-2c$$ $c$ bilangan real positif maka $$2a-1 < b-2 \Rightarrow 2a < b - 1$$

SOAL #52
Diketahui A={9,7,6,5,4,3,2,1}. Lima anggota A diambil secara acak. Peluang terambilnya 5 anggota berjumlah genap adalah ...
JAWABAN #52
Banyak cara mengambil 5 anggota dari 8 anggota A di atas adalah 8C5 = 56.

A terdiri dari 3 angka genap dan 5 angka ganjil. Jika diambil 5 anggota dengan jumlah genap maka kemungkinannya adalah
3 angka genap dan 2 angka ganjil
1 angka genap dan 4 angka ganjil

Banyak cara mengambil 3 angka genap dan 2 angka ganjil adalah 3C3×5C3=1×10=10. Sedangkan banyak cara mengambil 1 angka genap dan 4 angka ganjil adalah 3C1×5C4=3×5=15. Dengan demikian banyak cara mengambil 5 angka dengan jumlah genap sebanyak 10+15=25.

Jai peluang terambilnya 5 anggota berjumlah genap adalah 25/56

SOAL #53
Diketahui suatu barisan geometri yang terdiri atas empat suku. Jika hasil kali tiga suku pertama adalah $-27$ dan jumlah tiga suku terakhirnya adalah $-\dfrac{9}{4}$, maka suku ketiga barisan geometri tersebut adalah ...
JAWABAN #53
Misalkan empat suku barisan geometri tersebut adalah $a$, $ar$, $ar^2$ dan $ar^3$.

Hasil kali tiga suku pertama adalah $-27$ maka
\begin{split}
& a\cdot ar \cdot ar^2 = -27\\
\Rightarrow & (ar)^3=-27\\
\Rightarrow & ar=-3
\end{split}

jumlah tiga suku terakhirnya adalah $-\dfrac{9}{4}$ maka
\begin{split}
& ar + ar^2 \cdot ar^3 = -\dfrac{9}{4}\\
\Rightarrow & ar + ar\cdot r + ar\cdot r^2 = -\dfrac{9}{4}\\
\Rightarrow & -3 - 3r -3r^2 = -\dfrac{9}{4}\\
\Rightarrow & r^2 + r + 1= \dfrac{3}{4}\\
\Rightarrow & 4r^2 + 4r + 4= 3\\
\Rightarrow & 4r^2 + 4r + 1= 0\\
\Rightarrow & (2r+1)^2= 0\\
\Rightarrow & r=-\dfrac{1}{2}
\end{split}
Jadi suku ketiga barisan geometri tersebut adalah $ar^2=ar\cdot r=-3 \cdot (-\dfrac{1}{2})=\dfrac{3}{2}$

SOAL #54
Jika grafik parabola $f(x)=ax^2+bx+c$ memotong sumbu Y pada titik $(0,4)$, serta memotong garis $y=x-2$ di titik $x=1$ dan $x=6$, maka koordinat titik puncak parabola tersebut adalah ...
JAWABAN #54
grafik parabola memotong sumbu Y pada titik $(0,4)$ maka $$f(0)=c=4$$
Substitusikan persamaan garis dan parabola diperoleh
\begin{split}
& ax^2+bx+4 = x-2\\
\Rightarrow & ax^2+(b-1)x+6 = 0
\end{split}
Karena titik potongnya di $x=1$ dan $x=6$ maka
\begin{split}
& x_1\cdot x_2 = \dfrac{6}{a}\\
\Rightarrow & 1\cdot 6 = \dfrac{6}{a}\\
\Rightarrow & a=1
\end{split}
dan
\begin{split}
& x_1+ x_2 = -\dfrac{b-1}{a}\\
\Rightarrow & 1+ 6 = -\dfrac{b-1}{1}\\
\Rightarrow & b=-6
\end{split}
Dengan demikian $$f(x)=x^2-6x+4$$
Jika puncaknya $(x_p,y_p)$ maka $x_p=-\dfrac{-6}{2}=3$ dan $y_p=3^3-6\cdot 3+4=-5$. Jadi titik puncaknya adalah $(3,-5)$

SOAL #55
Jika semua akar dari persamaan $x^2-ax+b(b+1)=0$ merupakan bilangan prima untuk suatu bilangan positif $a$ dan $b$, maka $a+b$ adalah ...
JAWABAN #55
Misalkan kedua bilangan prima yang menjadi akar-akar persamaan kuadrat di atas adalah $x_1$ dan $x_2$ maka $$x_1\cdot x_2=b(b+1)$$
Perhatikan bahwa perkalian $x_1$ dan $x_2$ juga merupakan perkalian antara dua bilangan bulat dengan selisih 1 ($b$ dan $b+1$). Dua bilangan prima yang mungkin dengan selisish 1 hanyalah 2 dan 3. Oleh karena itu $b$ dan $b+1$ berturut-turut adalah $2$ dan $3$. Sehingga $x_1=2$ dan $x_2=3$.

Dengan menggunakan rumus jumlah akar diperoleh $x_1+x_2=a \Rightarrow 2+3=a \Rightarrow a=5$.

Jadi $a+b=5+2=7$

Part 1: nomer 46 - 50
Part 2: nomer 51 - 55
Part 3: nomer 56 - 60

Click to comment