Type something and hit enter

author photo
By On
SOAL #11
$\displaystyle\int\limits_{1/8}^{1/3} \dfrac{3}{x^2}\sqrt{1+\dfrac{1}{x}}\ dx=\ldots$
JAWABAN #11
Misalkan $u=1+\dfrac{1}{x}$ maka $du = -\dfrac{1}{x^2}\ dx$. Kalikan kedua ruasnya dengan $-3$ diperoleh $$-3\ du = \dfrac{3}{x^2}\ dx$$
Jika $x=1/8$ maka $u=1+\dfrac{1}{1/8}=9$
Jika $x=1/3$ maka $u=1+\dfrac{1}{1/3}=4$

Dengan demikian
\begin{split}
& \int_{1/8}^{1/3} \dfrac{3}{x^2}\sqrt{1+\dfrac{1}{x}}\ dx\\
= & \int_{x=1/8}^{x=1/3} \sqrt{1+\dfrac{1}{x}}\dfrac{3}{x^2}\ dx\\
= & \int_{u=9}^{u=4} \sqrt{u}\cdot -3\ du\\
= & -3\int_{9}^{4} u^{1/2}\ du\\
= & -3\left[\dfrac{2}{3} u^{3/2}\right]_{9}^{4}\\
= & -\left[2 u \sqrt{u}\right]_{9}^{4}\\
= & -\left[(2\cdot 4\cdot \sqrt{4})-(2\cdot 9\cdot \sqrt{9})\right]\\
= & -\left[16-54\right]\\
= & -\left[-38\right]\\
= & 38
\end{split}

SOAL #12
Diketahui $(a_n)$ dan $(b_n)$ adalah dua barisan aritmetika dengan $a_1=5$, $a_2=8$, $b_1=3$, dan $b_2=7$. Jika $A=\{a_1,a_2,\ldots ,a_{100}\}$ dan $B=\{b_1,b_2,\ldots ,b_{100}\}$, maka banyaknya anggota $A \cap B$ adalah ...
JAWABAN #12
Barisan $(a_n)$ memiliki suku pertama 5 dengan beda 3 maka $a_n=3n+2$ dan A={5,8,11,14,17,20,23,...,302}

Barisan $(b_n)$ memiliki suku pertama 3 dengan beda 4 maka $b_n=4n-1$ dan B={3,7,11,15,19,23,...,399}

Dari kedua himpunan di atas diperoleh $A\cap B=${11,23,...}. Rumus untuk barisan pada himpunan $A\cap B$ adalah $12n-1$. Karena nilai $12n-1$ tidak mungkin lebih dari 302 maka $$12n-1 < 302 \Rightarrow n < 25.25$$ Jadi banyaknya anggota $A\cap B$ adalah 25.

SOAL #13
Himpunan semua bilangan real $x$ pada selang $[0,2\pi]$ yang memenuhi $2-2\cos^2x \leq \sqrt{3}\sin x$ berbentuk $[a,b]\cup [c,d]$. Nilai $a+b+c+d$ adalah ...
JAWABAN #13
\begin{split}
& 2-2\cos^2x \leq \sqrt{3}\sin x\\
\Rightarrow & 2(1-\cos^2x) \leq \sqrt{3}\sin x\\
\Rightarrow & 2\sin^2x \leq \sqrt{3}\sin x\\
\Rightarrow & 2\sin^2x - \sqrt{3}\sin x \leq 0\\
\Rightarrow & \sin x(2\sin x - \sqrt{3}) \leq 0
\end{split}
Pembuat nol pertidaksamaan di atas adalah $\sin x = 0$ dan $2\sin x - \sqrt{3}=0$
Jika $\sin x = 0$ maka $x=0$ atau $x=\pi$ atau $x=2\pi$
Jika $2\sin x - \sqrt{3}=0\Rightarrow \sin x = \dfrac{1}{2}\sqrt{3}$ maka $x=\dfrac{\pi}{6}$ atau $x=\dfrac{5\pi}{6}$.

Buat garis bilangan dari $0$ sampai $2\pi$ kemudian uji titik $x=\dfrac{\pi}{2}$.
Soal dan Pembahasan SBMPTN 2018 Matematika IPA
Dari ilustrasi di atas didapat penyelesaian $\left[ 0,\dfrac{\pi}{6} \right] \cup \left[ \dfrac{5\pi}{6}, \pi \right]$. Dengan demikian $a=0$, $b=\dfrac{\pi}{6}$, $c=\dfrac{5\pi}{6}$, dan $d=\pi$. Jadi
\begin{split}
& a+b+c+d\\
= & 0+\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{5\pi}{6}+\pi\\
= & 2\pi
\end{split}

SOAL #14
Jika $y=2^{3x^2+cx-1}$ dan $y=4^{x^2-\frac{c}{2}}$ bersinggungan, maka $c^2+c=\ldots$
JAWABAN #14
\begin{split}
& 2^{3x^2+cx-1} = 2^{2x^2-c}\\
\Rightarrow & 3x^2+cx-1=2x^2-c\\
\Rightarrow & x^2+cx-1+c=0
\end{split}
Karena kedua kurvanya bersinggungan maka Diskriminan persamaan kuadrat di atas akan sama dengan 0 yaitu
\begin{split}
& c^2-4(-1+c)=0\\
\Rightarrow & c^2-4c+4=0\\
\Rightarrow & (c-2)(c-2)=0\\
\Rightarrow & c=2
\end{split}
Jadi $c^2+c=4+2=6$

SOAL #15
Diketahui dua lingkaran $x^2+y^2=2$ dan $x^2+y^2=4$. Garis $l_1$ menyinggung lingkaran pertama di titik $(1,-1)$. Garis $l_2$ menyinggung lingkaran kedua dan tegak lurus dengan garis $l_1$. Titik potong garis $l_1$ dan $l_2$ adalah ...
JAWABAN #15
Persamaan garis $l_1$ adalah $1x+(-1)y=2$ atau $x-y=2$ dengan gradien $m_1=1$. $l_2$ tegak lurus $l_1$ maka gradien $l_2$ menjadi $m_2=-1$

Dengan demikian dapat dimisalkan persamaan $l_2$ adalah $y=-x+c$. Substitusikan persamaan tersebut ke persamaan lingkaran $x^2+y^2=4$ diperoleh
\begin{split}
& x^2+(-x+c)^2=4\\
\Rightarrow & x^2+x^2-2cx+c^2=4\\
\Rightarrow & 2x^2-2cx+c^2-4=0\\
\end{split}
$l_2$ menyinggung lingkaran maka Diskriminan persamaan di atas sama dengan 0 yaitu
\begin{split}
& (-2c)^2-4\cdot 2\cdot(c^2-4)=0\\
\Rightarrow & 4c^2-8c^2+32=0\\
\Rightarrow & 4c^2=32\\
\Rightarrow & c^2=8\\
\Rightarrow & c=\pm 2\sqrt{2}
\end{split}
Jika $c=2\sqrt{2}$ maka persamaan $l_2$ menjadi $y=-x+2\sqrt{2}$ dan titik potongnya dengan $l_2$ diperoleh dengan cara mensubstitusikannya ke persamaan $l_1$ yakni
\begin{split}
& x-y=2\\
\Rightarrow & x-(-x+2\sqrt{2})=2\\
\Rightarrow & x+x-2\sqrt{2}=2\\
\Rightarrow & 2x=2+2\sqrt{2}\\
\Rightarrow & x=1+\sqrt{2}
\end{split}
Sehingga
\begin{split}
y & =-x+2\sqrt{2}\\
& =-(1+\sqrt{2})+2\sqrt{2}\\
& =-1+\sqrt{2}\\
& =\sqrt{2}-1
\end{split}
Jadi titik potong antara $l_1$ dan $l_2$ adalah $(1+\sqrt{2},\sqrt{2}-1)$

Untuk $c=-2\sqrt{2}$ tidak perlu diperiksa lagi titik potongnya karena titik di atas sudah ada di pilihan jawaban

Part 1: nomer 1 - 5
Part 2: nomer 6 - 10
Part 3: nomer 11 - 15

3 komentar

avatar

Nomor 12 kok gk ada pilihan jawabannya ya di soal SBMPTN 2018? Adanya 20 s/d 24.

avatar

Iya. memang tidak ada di pilihan jawabannya

avatar

Ok, thanks. Min, pembahasan untuk MTK IPA kode 432 (saya punya soal nya), ada beberapa soal yg beda.

Click to comment