Soal dan Pembahasan SBMPTN 2018 Kode 449 Matematika IPA Part 3

SOAL #11
$\displaystyle\int\limits_{1/8}^{1/3} \dfrac{3}{x^2}\sqrt{1+\dfrac{1}{x}}\ dx=\ldots$
JAWABAN #11
Misalkan $u=1+\dfrac{1}{x}$ maka $du = -\dfrac{1}{x^2}\ dx$. Kalikan kedua ruasnya dengan $-3$ diperoleh $$-3\ du = \dfrac{3}{x^2}\ dx$$
Jika $x=1/8$ maka $u=1+\dfrac{1}{1/8}=9$
Jika $x=1/3$ maka $u=1+\dfrac{1}{1/3}=4$

Dengan demikian
\begin{split}
& \int_{1/8}^{1/3} \dfrac{3}{x^2}\sqrt{1+\dfrac{1}{x}}\ dx\\
= & \int_{x=1/8}^{x=1/3} \sqrt{1+\dfrac{1}{x}}\dfrac{3}{x^2}\ dx\\
= & \int_{u=9}^{u=4} \sqrt{u}\cdot -3\ du\\
= & -3\int_{9}^{4} u^{1/2}\ du\\
= & -3\left[\dfrac{2}{3} u^{3/2}\right]_{9}^{4}\\
= & -\left[2 u \sqrt{u}\right]_{9}^{4}\\
= & -\left[(2\cdot 4\cdot \sqrt{4})-(2\cdot 9\cdot \sqrt{9})\right]\\
= & -\left[16-54\right]\\
= & -\left[-38\right]\\
= & 38
\end{split}

SOAL #12
Diketahui $(a_n)$ dan $(b_n)$ adalah dua barisan aritmetika dengan $a_1=5$, $a_2=8$, $b_1=3$, dan $b_2=7$. Jika $A=\{a_1,a_2,\ldots ,a_{100}\}$ dan $B=\{b_1,b_2,\ldots ,b_{100}\}$, maka banyaknya anggota $A \cap B$ adalah ...
JAWABAN #12
Barisan $(a_n)$ memiliki suku pertama 5 dengan beda 3 maka $a_n=3n+2$ dan A={5,8,11,14,17,20,23,...,302}

Barisan $(b_n)$ memiliki suku pertama 3 dengan beda 4 maka $b_n=4n-1$ dan B={3,7,11,15,19,23,...,399}

Dari kedua himpunan di atas diperoleh $A\cap B=${11,23,...}. Rumus untuk barisan pada himpunan $A\cap B$ adalah $12n-1$. Karena nilai $12n-1$ tidak mungkin lebih dari 302 maka $$12n-1 < 302 \Rightarrow n < 25.25$$ Jadi banyaknya anggota $A\cap B$ adalah 25.

SOAL #13
Himpunan semua bilangan real $x$ pada selang $[0,2\pi]$ yang memenuhi $2-2\cos^2x \leq \sqrt{3}\sin x$ berbentuk $[a,b]\cup [c,d]$. Nilai $a+b+c+d$ adalah ...
JAWABAN #13
\begin{split}
& 2-2\cos^2x \leq \sqrt{3}\sin x\\
\Rightarrow & 2(1-\cos^2x) \leq \sqrt{3}\sin x\\
\Rightarrow & 2\sin^2x \leq \sqrt{3}\sin x\\
\Rightarrow & 2\sin^2x - \sqrt{3}\sin x \leq 0\\
\Rightarrow & \sin x(2\sin x - \sqrt{3}) \leq 0
\end{split}
Pembuat nol pertidaksamaan di atas adalah $\sin x = 0$ dan $2\sin x - \sqrt{3}=0$
Jika $\sin x = 0$ maka $x=0$ atau $x=\pi$ atau $x=2\pi$
Jika $2\sin x - \sqrt{3}=0\Rightarrow \sin x = \dfrac{1}{2}\sqrt{3}$ maka $x=\dfrac{\pi}{6}$ atau $x=\dfrac{5\pi}{6}$.

Buat garis bilangan dari $0$ sampai $2\pi$ kemudian uji titik $x=\dfrac{\pi}{2}$.
Soal dan Pembahasan SBMPTN 2018 Matematika IPA
Dari ilustrasi di atas didapat penyelesaian $\left[ 0,\dfrac{\pi}{6} \right] \cup \left[ \dfrac{5\pi}{6}, \pi \right]$. Dengan demikian $a=0$, $b=\dfrac{\pi}{6}$, $c=\dfrac{5\pi}{6}$, dan $d=\pi$. Jadi
\begin{split}
& a+b+c+d\\
= & 0+\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{5\pi}{6}+\pi\\
= & 2\pi
\end{split}

SOAL #14
Jika $y=2^{3x^2+cx-1}$ dan $y=4^{x^2-\frac{c}{2}}$ bersinggungan, maka $c^2+c=\ldots$
JAWABAN #14
\begin{split}
& 2^{3x^2+cx-1} = 2^{2x^2-c}\\
\Rightarrow & 3x^2+cx-1=2x^2-c\\
\Rightarrow & x^2+cx-1+c=0
\end{split}
Karena kedua kurvanya bersinggungan maka Diskriminan persamaan kuadrat di atas akan sama dengan 0 yaitu
\begin{split}
& c^2-4(-1+c)=0\\
\Rightarrow & c^2-4c+4=0\\
\Rightarrow & (c-2)(c-2)=0\\
\Rightarrow & c=2
\end{split}
Jadi $c^2+c=4+2=6$

SOAL #15
Diketahui dua lingkaran $x^2+y^2=2$ dan $x^2+y^2=4$. Garis $l_1$ menyinggung lingkaran pertama di titik $(1,-1)$. Garis $l_2$ menyinggung lingkaran kedua dan tegak lurus dengan garis $l_1$. Titik potong garis $l_1$ dan $l_2$ adalah ...
JAWABAN #15
Persamaan garis $l_1$ adalah $1x+(-1)y=2$ atau $x-y=2$ dengan gradien $m_1=1$. $l_2$ tegak lurus $l_1$ maka gradien $l_2$ menjadi $m_2=-1$

Dengan demikian dapat dimisalkan persamaan $l_2$ adalah $y=-x+c$. Substitusikan persamaan tersebut ke persamaan lingkaran $x^2+y^2=4$ diperoleh
\begin{split}
& x^2+(-x+c)^2=4\\
\Rightarrow & x^2+x^2-2cx+c^2=4\\
\Rightarrow & 2x^2-2cx+c^2-4=0\\
\end{split}
$l_2$ menyinggung lingkaran maka Diskriminan persamaan di atas sama dengan 0 yaitu
\begin{split}
& (-2c)^2-4\cdot 2\cdot(c^2-4)=0\\
\Rightarrow & 4c^2-8c^2+32=0\\
\Rightarrow & 4c^2=32\\
\Rightarrow & c^2=8\\
\Rightarrow & c=\pm 2\sqrt{2}
\end{split}
Jika $c=2\sqrt{2}$ maka persamaan $l_2$ menjadi $y=-x+2\sqrt{2}$ dan titik potongnya dengan $l_2$ diperoleh dengan cara mensubstitusikannya ke persamaan $l_1$ yakni
\begin{split}
& x-y=2\\
\Rightarrow & x-(-x+2\sqrt{2})=2\\
\Rightarrow & x+x-2\sqrt{2}=2\\
\Rightarrow & 2x=2+2\sqrt{2}\\
\Rightarrow & x=1+\sqrt{2}
\end{split}
Sehingga
\begin{split}
y & =-x+2\sqrt{2}\\
& =-(1+\sqrt{2})+2\sqrt{2}\\
& =-1+\sqrt{2}\\
& =\sqrt{2}-1
\end{split}
Jadi titik potong antara $l_1$ dan $l_2$ adalah $(1+\sqrt{2},\sqrt{2}-1)$

Untuk $c=-2\sqrt{2}$ tidak perlu diperiksa lagi titik potongnya karena titik di atas sudah ada di pilihan jawaban

Part 1: nomer 1 - 5
Part 2: nomer 6 - 10
Part 3: nomer 11 - 15

Comments

  1. Nomor 12 kok gk ada pilihan jawabannya ya di soal SBMPTN 2018? Adanya 20 s/d 24.

    ReplyDelete
    Replies
    1. Iya. memang tidak ada di pilihan jawabannya

      Delete
    2. Ok, thanks. Min, pembahasan untuk MTK IPA kode 432 (saya punya soal nya), ada beberapa soal yg beda.

      Delete

Post a Comment