Type something and hit enter

author photo
By On
SOAL #1
Jika $a$ dan $b$ memenuhi $\begin{cases}\dfrac{2}{2a-b}+\dfrac{7}{2a+b}=3 \\ \dfrac{1}{2a-b}-\dfrac{7}{2a+b}=0 \end{cases}$ maka $a^2+2b=\ldots$
JAWABAN #1
Misalkan $\dfrac{1}{2a-b}=x$ dan $\dfrac{1}{2a+b}=y$ maka sistem di atas dapat ditulis menjadi $$\begin{cases} 2x+7y=3 \\ x-7y=0 \end{cases}$$ Dengan menyelesaikan sistem di atas diperoleh
\begin{split}
x=1 & \Rightarrow \dfrac{1}{2a-b} = 1\\
& \Rightarrow 2a-b=1\text{...(i)}
\end{split} dan
\begin{split}
y=\dfrac{1}{7} & \Rightarrow \dfrac{1}{2a+b} = \dfrac{1}{7}\\
& \Rightarrow 2a+b=7\text{...(ii)}
\end{split}Dengan menyelesaikan sistem yang dibentuk oleh (i) dan (ii) dapat diperoleh nilai $a=2$ dan $b=3$. Jadi $a^2+2b=4+6=10$

SOAL #2
Seorang pelajar berencana untuk menabung di koperasi yang keuntungannya dihitung setiap semester. Apabila jumlah tabungannya menjadi dua kali lipat dalam 5 tahun, maka besar tingkat suku bunga per tahun adalah ...
JAWABAN #2 ada DISINI

SOAL #3
Banyak bilangan prima yang memenuhi pertidaksamaan $|2x-16| < |x-2| < 11$ adalah ...

JAWABAN #3
Pertidaksamaan di atas terdiri dari dua pertidaksamaan yang harus diselesaikan secara bersamaan
1) $|2x-16| < |x-2|$ \begin{split} & |2x-16| < |x-2|\\ \Rightarrow & (2x-16)^2 < (x-2)^2\\ \Rightarrow & (2x-16)^2 - (x-2)^2 < 0\\ \Rightarrow & ((2x-16) - (x-2))((2x-16) + (x-2)) < 0\\ \Rightarrow & (x-14)(3x-18) < 0\\ \Rightarrow & 6 < x < 14 \end{split} 2) $|x-2| < 11$ \begin{split} & |x-2| < 11\\ \Rightarrow & -11 < x-2 < 11\\ \Rightarrow & -9 < x < 13 \end{split} Penyelesaiannya adalah irisan dari penyelesaian 1 dan 2 yaitu $6 < x < 13$. Bilangan prima yang memenuhi hanya 7 dan 11. Jadi banyak bilangan prima yang memenuhi adalah 2

SOAL #4
Diketahui vektor $a$, $b$, dan $c$ dengan $b=(-2,1)$, $b \bot c$, dan $a-b+c=0$. Jika luas segitiga yang dibentuk ujung-ujung $a$, $b$, dan $c$ adalah $\sqrt{5}$, maka panjang vektor $a$ adalah ...
JAWABAN #4
Misalkan $c=(p,q)$. Karena $b \bot c$ maka
\begin{split}
& b\cdot c = 0\\
\Rightarrow & (-2,1)\cdot (p,q)=0\\
\Rightarrow & -2p+q=0\\
\Rightarrow & q=2p
\end{split}Oleh karena itu vektor $c=(p,2p)$. Kemudian
\begin{split}
& a-b+c=0\\
\Rightarrow & a=b-c\\
\Rightarrow & a=(-2,1)-(p,2p)\\
\Rightarrow & a=(-2-p,1-2p)
\end{split}Sekarang telah diketahui ujung-ujung ketiga vektor tersebut adalah $A(-2-p,1-2p)$, $B(-2,1)$, dan $C(p,2p)$. Luas segitiga $ABC$ dapat dinyatakan dengan
Soal dan Pembahasan Materi Vektor SBMPTN 2017 Matematika IPA
Diagram di atas menyatakan luas segitiga $ABC$. Karena luas segitiga $ABC$ adalah $\sqrt{5}$, maka
\begin{split}
& \frac{1}{2}((-2-p-4p+p-2p^2)-(-2+4p+p-4p-2p^2))=\sqrt{5}\\
\Rightarrow & (-2-4p-2p^2)-(-2+p-2p^2)=2\sqrt{5}\\
\Rightarrow & -2-4p-2p^2+2-p+2p^2=2\sqrt{5}\\
\Rightarrow & -5p=\sqrt{5}\\
\Rightarrow & p=-\frac{2\sqrt{5}}{5}
\end{split}
Jadi vektor $a=\left(-2+\dfrac{2\sqrt{5}}{5}, 1+\dfrac{4\sqrt{5}}{5}\right)$. Dengan demikian panjang $a$ adalah
\begin{split}
|a| & = \sqrt{\left( -2+\dfrac{2\sqrt{5}}{5} \right)^2 + \left( 1+\dfrac{4\sqrt{5}}{5} \right)^2}\\
& = \sqrt{4-\dfrac{8\sqrt{5}}{5}+\dfrac{4}{5}+1+\dfrac{8\sqrt{5}}{5}+\dfrac{16}{5}}\\
& = \sqrt{9}\\
& = 3
\end{split}
Referensi: 5 Cara Menghitung Luas Segitiga

SOAL #5
Jika $x_1$ dan $x_2$ adalah solusi dari $\dfrac{2\sin x \cos 2x}{\cos x \sin 2x}-5\tan x+5=0$, maka $\tan(x_1+x_2)=\ldots$
JAWABAN #5
\begin{split}
& \dfrac{2\sin x \cos 2x}{\cos x \sin 2x}-5\tan x+5=0\\
\Rightarrow & 2\dfrac{\sin x}{\cos x} \dfrac{\cos 2x}{\sin 2x}-5\tan x+5=0\\
\Rightarrow & 2\tan x \cot 2x -5\tan x+5=0\\
\Rightarrow & 2\tan x \dfrac{1-\tan^2x}{2\tan x} -5\tan x+5=0\\
\Rightarrow & 1-\tan^2x -5\tan x+5=0\\
\Rightarrow & \tan^2x +5\tan x-6=0\\
\Rightarrow & (\tan x+6)(\tan x-1)=0\\
\Rightarrow & \tan x_1 = -6 \vee \tan x_2 = 1
\end{split}Jadi
\begin{split}
\tan (x_1+x_2) & = \dfrac{\tan x_1 + \tan x_2}{1-\tan x_1\tan x_2}\\
& = \dfrac{-6+1}{1-(-6)\cdot 1}\\
& = \dfrac{-5}{7}
\end{split}

SOAL #6
Persamaan salah satu asimtot hiperbola −16x2 + 32x + 9y2 − 36y − 124 = 0 adalah ...
JAWABAN #6
\begin{split}
& -16x^2+32x+9y^2-36y-124=0\\
\Rightarrow & 9y^2-36y-16x^2+32x=124\\
\Rightarrow & 9(y^2-4y)-16(x^2-2x)=124\\
\Rightarrow & 9(y^2-4y+4)-16(x^2-2x+1)=124+36-16\\
\Rightarrow & 9(y-2)^2-16(x-1)^2=144\\
\Rightarrow & \dfrac{(y-2)^2}{16}-\dfrac{(x-1)^2}{9}=1
\end{split}Persamaan asimtot hiperbola di atas adalah
\begin{split}
& \dfrac{(y-2)^2}{16}-\dfrac{(x-1)^2}{9}=0\\
\Rightarrow & \dfrac{y-2}{4}=\pm \dfrac{x-1}{3}\\
\Rightarrow & 3y-6=\pm (4x-4)\\
\Rightarrow & 3y-6=4x-4 \vee 3y-6=-4x+4\\
\Rightarrow & 4x-3y=-2 \vee 4x+3y=10
\end{split}
SOAL #7
Diketahui bahwa $x-4$ merupakan faktor polinom $p(x)$. Jika sisa pembagian $p(x)$ oleh $x^2-2x-8$ adalah $x-a$ dan sisa pembagian $p(x)$ oleh $x+2$ adalah $b$, maka $a+b=\ldots$
JAWABAN #7
$x-4$ merupakan faktor polinom $p(x)$ maka $p(x)=(x-4)q(x)$ untuk suatu polinom $q(x)$. Substitusikan $x=4$ diperoleh $p(4)=0$.

Sisa pembagian $p(x)$ oleh $x^2-2x-8$ adalah $x-a$ maka $$p(x)=(x^2-2x-8)r(x)+(x-a)$$ untuk suatu polinom $r(x)$. Substitusikan $x=4$ maka
\begin{split}
& p(4)=0\\
\Rightarrow & (4^2-2\cdot 4-8)r(4)+(4-a)=0\\
\Rightarrow & 4-a=0\\
\Rightarrow & a=4
\end{split}
Sisa pembagian $p(x)$ oleh $x+2$ adalah $b$ maka dengan Teorema Sisa diperoleh
\begin{split}
& p(-2)=b\\
\Rightarrow & ((-2)^2-2(-2)-8)r(-2)+(-2-a)=b\\
\Rightarrow & (4+4-8)r(-2)+(-2-4)=b\\
\Rightarrow & b=-6
\end{split}
Jadi $a+b=4-6=-2$

SOAL #8
Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Kode 168 Matematika Saintek
Diketahui suatu lingkaran kecil dengan radius $3\sqrt{2}$ melalui pusat suatu lingkaran besar dengan radius 6. Ruas garis yang menghubungkan dua titik potong lingkaran merupakan diameter dari lingkaran kecil, seperti pada gambar. Luas daerah irisan kedua lingkaran adalah ...
JAWABAN #8 ada DISINI

SOAL #9
Jika $\int_{-4}^4 f(x)(\sin x + 1)\ dx = 8$, dengan $f(x)$ fungsi genap dan $\int_{-2}^4 f(x) dx = 4$, maka $\int_{-2}^0 f(x)\ dx$ adalah ...
JAWABAN #9 ada DISINI

SOAL #10
$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x+x\cos x}{\sin x \cos x}=\ldots$
JAWABAN #10
\begin{split}
& \lim_{x \to 0} \dfrac{x+x\cos x}{\sin x \cos x}\\
= & \lim_{x \to 0} \dfrac{x(1+\cos x)}{\sin x \cos x}\\
= & \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{\sin x}\dfrac{(1+\cos x)}{\cos x}\\
= & \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{\sin x}\cdot \lim_{x \to 0} \dfrac{(1+\cos x)}{\cos x}\\
= & 1 \cdot \dfrac{(1+1)}{1}\\
= & 2
\end{split}
SOAL #11
$\lim\limits_{x \to \infty} x \cot \left( \dfrac{1}{x} \right) \sin \left(\dfrac{1}{x^2} \right)$
JAWABAN #11
Misalkan $y=\dfrac{1}{x}$ maka $x=\dfrac{1}{y}$. Jika $x \to \infty$ maka $y \to 0$. Dengan demikian limit di atas dapat dinyatakan dengan
\begin{split}
& \lim_{x \to \infty} x \cot \left( \dfrac{1}{x} \right) \sin \left(\dfrac{1}{x^2} \right)\\
= & \lim_{y \to 0} \dfrac{1}{y} \cot ( y ) \sin (y^2 )\\
= & \lim_{y \to 0} \dfrac{\sin (y^2 )}{y\tan ( y )} \times \color{Blue}{\dfrac{y}{y}}\\
= & \lim_{y \to 0} \dfrac{y\sin (y^2 )}{y^2\tan ( y )}\\
= & \lim_{y \to 0} \dfrac{\sin (y^2 )}{y^2} \dfrac{y}{\tan ( y )}\\
= & \lim_{y \to 0} \dfrac{\sin (y^2 )}{y^2} \lim_{y \to 0} \dfrac{y}{\tan ( y )}\\
= & 1 \cdot 1\\
= & 1
\end{split}
SOAL #12
Diketahui asimtot tegak fungsi $f(x)=\dfrac{\sqrt{ax+1}}{b-\sqrt{x+a}}$ dengan $a > 0$ adalah $y=-2$. Jika asimtot tegak dari $f$ adalah $x=x_1$ dengan $ax_1=20$, maka $a+b$ adalah ...
JAWABAN #12 ada DISINI

SOAL #13
Misalkan $f(x)=\sin^2(\sec 2x)$, maka $f'(x)=\ldots$
JAWABAN #13
Misalkan
$u=2x \Rightarrow \dfrac{du}{dx}=2$
$v=\sec u \Rightarrow \dfrac{dv}{du}= \sec u \tan u$
$w=\sin v \Rightarrow \dfrac{dw}{dv}=\cos v$
$f=w^2 \Rightarrow \dfrac{df}{dw}=2w$
Jadi
\begin{split}
f'(x) = & \dfrac{df}{dx}\\
= & \dfrac{df}{dw} \cdot \dfrac{dw}{dv} \cdot \dfrac{dv}{du} \cdot \dfrac{du}{dx}\\
= & 2w \cdot \cos v \cdot \sec u \tan u \cdot 2\\
= & 4\sin v \cos (\sec u) \sec 2x \tan 2x\\
= & 4\sin (\sec 2x) \cos (\sec 2x) \sec 2x \tan 2x
\end{split}

SOAL #14
Garis singgung dari $f(x)=x^2+\dfrac{a}{x}$ di titik x = 1 berpotongan dengan garis y = x − 1 di titik (b,c), maka b − c = ...
JAWABAN #14 ada DISINI

SOAL #15
Di dalam kotak I terdapat 12 bola putih dan 3 bola merah. Di dalam kotak II terdapat 4 bola putih dan 4 bola merah. Jika dari kotak I dan kotak II masing-masing diambil 2 bola satu per satu dengan pengembalian, maka peluang yang terambil 1 bola merah adalah ...
JAWABAN #15 ada DISINI

Click to comment