Type something and hit enter

author photo
By On
SOAL #1
Jika x dan y memenuhi sistem $$\begin{cases} \dfrac{y}{x}-\dfrac{1}{(y-2)^2}=\dfrac{1}{4} \\ \dfrac{3y}{x}-\dfrac{4}{(y-2)^2}=\dfrac{1}{2} \end{cases}$$ maka xy = ...
JAWABAN #1
Misalkn $\dfrac{x}{y}=p$ dan $\dfrac{1}{(y-2)^2}=q$ maka sistem di atas dapat ditulis sebagai$$\begin{cases} p-q=\dfrac{1}{4} \\ 3p-4q=\dfrac{1}{2} \end{cases}$$ Dengan menyelesaikan sistem di atas diperoleh
\begin{split}
& p =\dfrac{1}{2}\\
\Rightarrow & \dfrac{x}{y}=\dfrac{1}{2}\\
\Rightarrow & y=2x
\end{split} dan
\begin{split}
& q=\dfrac{1}{4}\\
\Rightarrow & \dfrac{1}{(y-2)^2} = \dfrac{1}{4}\\
\Rightarrow & (y-2)^2=4\\
\Rightarrow & y-2= \pm 2\\
\Rightarrow & y=2 \pm 2\\
\Rightarrow & y=0 \vee y=4
\end{split}
Substitusi nilai $y$ ke persamaan $y=2x$ diperoleh:
  • Jika $y=0$ maka $x=0$. Jadi $xy=0$
  • Jika $y=4$ maka $x=2$. Jadi $xy=8$

SOAL #2
Seorang pelajar berencana untuk menabung di koperasi yang keuntungannya dihitung setiap semester. Apabila jumlah tabungannya menjadi dua kali lipat dalam 5 tahun, maka besar tingkat suku bunga per tahun adalah ...
JAWABAN #2 ada DISINI

SOAL #3
Banyak bilangan prima yang memenuhi pertidaksamaan $|2x-16| < |x-2| < 11$ adalah ...

JAWABAN #3 ada DISINI

SOAL #4
Diketahui vektor $a=(4,6)$, $b=(3,4)$, dan $c=(p,0)$. Jika $|c-a|=10$, maka kosinus sudut antara $b$ dan $c$ adalah ...
JAWABAN #4 ada DISINI

SOAL #5
Jika $2\sin x + 3\cot x - 3\csc x = 0$, dengan $0 < x < \dfrac{\pi}{2}$ maka $\sin x \cos x = \ldots$

JAWABAN #5 ada DISINI

SOAL #6
Diberikan hiperbola dengan puncak $(-2,3)$ dan $(-2,9)$. Jika puncak berada di tengah-tengah antara pusat dan fokus, maka persamaan hiperbola itu adalah ...
JAWABAN #6
Pusat hiperbola ada titik tengah antara kedua puncaknya yaitu $$\dfrac{(-2,3)+(-2,9)}{2}=(-2,6)$$ Karena kedua puncaknya memiliki absis yang sama, maka hiperbola tersebut adalah hiperbola vertikal. Oleh karena itu persamaannya akan berbentuk $$\dfrac{(y-6)^2}{a^2} - \dfrac{(x+2)^2}{b^2} = 1$$ Karena puncaknya adalah $(-2,3)$ dan $(-2,9)$, maka kedua titik tersebut dapat disubstitusikan ke persamaan hiperbola. Untuk masalah ini disubstitusikan $x=-2$ dan $y=3$
\begin{split}
& \dfrac{(y-6)^2}{a^2} - \dfrac{(x+2)^2}{b^2} = 1\\
\Rightarrow & \dfrac{(3-6)^2}{a^2} - \dfrac{(-2+2)^2}{b^2} = 1\\
\Rightarrow & \dfrac{9}{a^2} -0 = 1\\
\Rightarrow & a^2 = 9
\end{split}
Jarak antara pusat dan puncaknya adalah 3 satuan dan puncaknya berada di tengah-tengah pusat dan fokus, ini berarti jarak antara puncak dan fokus juga 3 satuan. Oleh karena itu jarak antara pusat dan fokus adalah 6 satuan. Jadi diperoleh nilai $c=6$.

Pada hiperbola berlaku hubungan $a^2+b^2=c^2$. Karena $a^2=9$ dan $c=6$ maka $b^2=36-9=27$. Jadi persamaan hiperbola tersebut adalah $$\dfrac{(y-6)^2}{9} - \dfrac{(x+2)^2}{27} = 1$$
SOAL #7
Jika $p(x)=(x-1)q(x)+1$ dan $q(3)=5$, maka sisa pembagian $p(x)$ oleh $(x-1)(x-3)$ adalah ...
JAWABAN #7
Substitusikan $x=1$ ke $p(x)$ diperoleh $$p(1)=(1-1)q(1)+1=1$$ Substitusikan pula $x=3$ ke $p(x)$ diperoleh
$$p(3)=(3-1)q(3)+1=2\cdot 5+1=11$$
Misalkan sisa pembagian $p(x)$ oleh $(x-1)(x-3)$ adalah $ax+b$ maka
$$p(x)=(x-1)(x-3)r(x)+ax+b$$
untuk suatu polinomial $r(x)$. Karena $p(1)=1$ dan $p(3)=11$ maka
\begin{split}
a+b & = 1\\
3a+b & = 11
\end{split} Dengan menyelesaikan sistem di atas didapatkan nilai $a=5$ dan $b=-4$. Jadi Sisa pembagianny adalah $5x-4$

SOAL #8
Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Kode 168 Matematika Saintek
Diketahui suatu lingkaran kecil dengan radius $3\sqrt{2}$ melalui pusat suatu lingkaran besar dengan radius 6. Ruas garis yang menghubungkan dua titik potong lingkaran merupakan diameter dari lingkaran kecil, seperti pada gambar. Luas daerah irisan kedua lingkaran adalah ...
JAWABAN #8 ada DISINI

SOAL #9
Jika $\int_{-4}^4 f(x)(\sin x + 1)\ dx = 8$, dengan $f(x)$ fungsi genap dan $\int_{-2}^4 f(x) dx = 4$, maka $\int_{-2}^0 f(x)\ dx$ adalah ...
JAWABAN #9 ada DISINI

SOAL #10
$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\cos \left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)\cos x}{4x+3x\cos 2x}=\ldots$
JAWABAN #10
Dengan menggunakan identitas
\begin{split}
\cos \left(x-\dfrac{\pi}{2}\right) = & \cos x \cos \dfrac{\pi}{2} + \sin x \sin \dfrac{\pi}{2}\\
= & \cos x \cdot 0 + \sin x \cdot 1\\
= & \sin x
\end{split}Bentuk limit di atas dapat diubah menjadi
\begin{split}
& \lim_{x \to 0} \dfrac{\cos \left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)\cos x}{4x+3x\cos 2x}\\
= & \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x \cos x}{4x+3x\cos 2x}\\
= & \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} \cdot \dfrac{\cos x}{4+3\cos 2x}\\
= & \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} \cdot \lim_{x \to 0} \dfrac{\cos x}{4+3\cos 2x}\\
= & 1 \cdot \dfrac{1}{4+3}\\
= & \dfrac{1}{7}
\end{split}
SOAL #11
$\lim\limits_{x \to \infty} x\left(1-\cos \dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)=\ldots$
JAWABAN #11
Misalkan $y=\dfrac{1}{x}$ maka $x=\dfrac{1}{y}$. Jika $x\to \infty$ maka $y\to 0$, Jadi
\begin{split}
& \lim_{x \to \infty} x\left(1-\cos \dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)\\
= & \lim_{y \to 0} \dfrac{1}{y}(1-\cos \sqrt{y})\\
= & \lim_{y \to 0} \dfrac{1}{y}\left(1-\left(1-2\sin^2 \dfrac{1}{2}\sqrt{y}\right)\right)\\
= & \lim_{y \to 0} \dfrac{1}{y}\left( 2\sin^2 \dfrac{1}{2}\sqrt{y} \right)\\
= & \lim_{y \to 0} \dfrac{2\sin^2 \dfrac{1}{2}\sqrt{y}}{\sqrt{y}\sqrt{y}}\\
= & \lim_{y \to 0} 2\cdot \dfrac{\sin \dfrac{1}{2}\sqrt{y}}{\sqrt{y}} \cdot \dfrac{\sin \dfrac{1}{2}\sqrt{y}}{\sqrt{y}}\\
= & 2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2}\\
= & \dfrac{1}{2}
\end{split}
SOAL #12
Di antara pilihan berikut, kurva $y=\dfrac{x^3+x^2+1}{x^3+10}$ memotong asimtot datarnya di titik $x=\ldots$
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
E. 4
JAWABAN #12
Asimtot datar fungsi di atas adalah $$y=\lim_{x\to \infty}\dfrac{x^3+x^2+1}{x^3+10} \Rightarrow y=1$$ Memotong asimtot datarnya maka
\begin{split}
& \dfrac{x^3+x^2+1}{x^3+10} = 1\\
\Rightarrow & x^3+x^2+1=x^3+10\\
\Rightarrow & x^2=9\\
\Rightarrow & x= \pm 3
\end{split}
SOAL #13
Misalkan $f(x)=\sin(\sin^2 x)$, maka $f'(x)=\ldots$
JAWABAN #13 ada DISINI

SOAL #14
Jika garis $y=7x-16$ menyinggung kurva $y=px^3+qx$ di $x=2$, maka $p-q=\ldots$
JAWABAN #14
Pada garis $y=7x-16$ dan untuk $x=2$ nilai $y=7\cdot 2-16=-2$. Jadi titik singgungnya adalah $(2,-2)$.

Oleh karena itu kurva juga melalui $(2,-2)$ $$-2=8p+2q \Rightarrow 4p+q=-1$$ Gradien kurva dinyatakan dengan $$y'=3px^2+q$$ Karena gradien garis singgung di $x=2$ adalah $7$ maka $$12p+q=7$$ Dengan menyelesaikan sistem yang dibentuk oleh $4p+q=-1$ dan $12p+q=7$ diperoleh $p=1$ dan $q=-5$. Jadi $$p-q=1-(-5)=6$$
SOAL #15
Di dalam kotak I terdapat 12 bola putih dan 3 bola merah. Di dalam kotak II terdapat 4 bola putih dan 4 bola merah. Jika dari kotak I dan kotak II masing-masing diambil 2 bola satu per satu dengan pengembalian, maka peluang yang terambil 1 bola merah adalah ...
JAWABAN #15 ada DISINI

Click to comment