Type something and hit enter

author photo
By On
SOAL #1
Jika $x$ dan $y$ memenuhi $$\begin{cases}\dfrac{2}{x+y}+\dfrac{3}{x-2y}=2 \\ \dfrac{4}{x+y}-\dfrac{1}{x-2y}=-3\end{cases}$$ maka $x^2-xy-2y^2=\ldots$
JAWABAN #1 ada DISINI

SOAL #2
Seorang pelajar berencana untuk menabung di koperasi yang keuntungannya dihitung setiap semester. Apabila jumlah tabungannya menjadi dua kali lipat dalam 5 tahun, maka besar tingkat suku bunga per tahun adalah ...
JAWABAN #2 ada DISINI

SOAL #3
Himpunan S beranggotakan semua bilangan bulat tak negatif x yang memenuhi $\dfrac{x^2-2ax+a^2}{(x+1)(x-4)} < 0$. Berapakah nilai $a$ sehingga hasil penjumlahan semua anggota S minimum ?

JAWABAN #3 ada DISINI

SOAL #4
Diketahui vektor $a$ dan $b$ vektor-vektor pada bidang datar sehingga $a$ tegak lurus $a+b$. Jika $|a|:|b|=1:2$, maka besar sudut antara $a$ dan $b$ adalah ...
JAWABAN #4
Misalkan sudut antara $a$ dan $b$ adalah $\theta$. Karena $a$ tegak lurus $a+b$ maka
\begin{split}
& a \cdot (a+b)=0\\
\Rightarrow & a\cdot a + a \cdot b =0\\
\Rightarrow & a\cdot a = -a \cdot b\\
\Rightarrow & |a|^2 = -|a||b| \cos \theta\\
\Rightarrow & |a| = -|b| \cos \theta\\
\Rightarrow & \cos \theta = -\dfrac{|a|}{|b|}\\
\Rightarrow & \cos \theta = -\dfrac{1}{2}\\
\Rightarrow & \theta = 120^{\circ}
\end{split} Jadi besar antara $a$ dan $b$ adalah $120^{\circ}$

SOAL #5
Banyaknya solusi yang memenuhi $\sec x \csc x - 3\sec x + 2 \tan x = 0$ adalah ...
JAWABAN #5
\begin{split}
& \sec x \csc x - 3\sec x + 2 \tan x = 0\\
\Rightarrow & \dfrac{1}{\cos x \sin x} - \dfrac{3}{\cos x} + \dfrac{2\sin x}{\cos x} = 0\\
\Rightarrow & \dfrac{1}{\cos x \sin x} - \dfrac{3\sin x}{\cos x\sin x} + \dfrac{2\sin^2 x}{\cos x \sin x} = 0\\
\Rightarrow & \dfrac{1-3\sin x+2\sin^2 x}{\cos x \sin x} = 0\\
\Rightarrow & 2\sin^2 x -3\sin x + 1= 0\\
\Rightarrow & (2\sin x-1)(\sin x -1)= 0\\
\Rightarrow & \sin x = \dfrac{1}{2} \vee \sin x = 1
\end{split}
Ada tak berhingga solusi untuk kedua persamaan di atas karena tidak terbatasnya nilai untuk $x$. Jika dibatasi $0^{\circ} < x < 360^{\circ}$ maka $\sin x = \dfrac{1}{2} \Rightarrow x = 30^{\circ} \vee x=150^{\circ}$ $\sin x = 1 \Rightarrow x = 90^{\circ}$ Jadi banyak solusinya adalah 3

SOAL #6
Persamaan salah satu asimtot hiperbola 9x2 + 18x − 16y2 − 32y − 151 = 0 adalah ...
JAWABAN #6
\begin{split}
& 9x^2+18x-16y^2-32y-151=0\\
\Rightarrow & 9(x^2+2x)-16(y^2+2y)=151\\
\Rightarrow & 9(x^2+2x+1)-16(y^2+2y+1)=151+9-16\\
\Rightarrow & 9(x+1)^2-16(y+1)^2=144\\
\Rightarrow & \dfrac{(x+1)^2}{16}-\dfrac{(y+1)^2}{9}=1
\end{split}Asimtot dari hiperbola di atas adalah
\begin{split}
& \dfrac{(x+1)^2}{16}-\dfrac{(y+1)^2}{9}=0\\
\Rightarrow & \dfrac{(x+1)^2}{16}=\dfrac{(y+1)^2}{9}\\
\Rightarrow & \dfrac{x+1}{4}=\pm \dfrac{y+1}{3}\\
\Rightarrow & 3x+3 = \pm (4y+4)\\
\Rightarrow & 3x+3 = \pm 4y \pm 4\\
\Rightarrow & 3x+3 = 4y + 4 \vee 3x+3 = -4y - 4\\
\Rightarrow & 3x-4y = 1 \vee 3x+4y = -7
\end{split}

SOAL #7
Misalkan $f(x)=3x^3-9x^2+4bx+18=(x-2)g(x)+2b$ maka $g(-2)=\ldots$
JAWABAN #7
Substitusikan $x=2$ ke $f(x)$ akan diperolah
\begin{split}
& 24-36+8b+18=(2-2)g(2)+2b\\
\Rightarrow & 6+8b=2b\\
\Rightarrow & b=-1
\end{split}Jadi $$f(x)=3x^2-9x^2-4x+18=(x-2)g(x)-2$$ Substitusikan $x=-2$ untuk memperoleh $g(-2)$
\begin{split}
& -24-36+8+18=(-2-2)g(-2)-2\\
\Rightarrow & -24-36+8+18=(-2-2)g(-2)-2\\
\Rightarrow & -34=-4g(-2)-2\\
\Rightarrow & 4g(-2)=34-2\\
\Rightarrow & 4g(-2)=32\\
\Rightarrow & g(-2)=8
\end{split}

SOAL #8
Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Kode 168 Matematika Saintek
Diketahui suatu lingkaran kecil dengan radius $3\sqrt{2}$ melalui pusat suatu lingkaran besar dengan radius 6. Ruas garis yang menghubungkan dua titik potong lingkaran merupakan diameter dari lingkaran kecil, seperti pada gambar. Luas daerah irisan kedua lingkaran adalah ...
JAWABAN #8 ada DISINI

SOAL #9
Jika $\int_{-4}^4 f(x)(\sin x + 1)\ dx = 8$, dengan $f(x)$ fungsi genap dan $\int_{-2}^4 f(x) dx = 4$, maka $\int_{-2}^0 f(x)\ dx$ adalah ...
JAWABAN #9 ada DISINI

SOAL #10
$\lim\limits_{x \to \dfrac{\pi}{2}} \dfrac{\left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)^2\csc \left(3 \left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)\right)}{\sin x \tan \left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)}=\ldots$
JAWABAN #10 ada DISINI

SOAL #11
$\lim\limits_{x \to \infty} x \cot \left(\dfrac{1}{x}\right)\sin \left(\dfrac{1}{x^2} \right)=\ldots$
JAWABAN #11
Misalkan $y=\dfrac{1}{x}$ maka $x=\dfrac{1}{y}$. Jika $x \to \infty$ maka $y \to 0$
\begin{split}
& \lim_{x \to \infty} x \cot \left(\dfrac{1}{x}\right)\sin \left(\dfrac{1}{x^2} \right)\\
\Rightarrow & \lim_{y \to 0} \dfrac{1}{y} \cot y \sin y^2\\
\Rightarrow & \lim_{y \to 0} \dfrac{1}{y} \dfrac{\cos y}{\sin y} \sin y^2\\
\Rightarrow & \lim_{y \to 0} \dfrac{\cos y \sin y^2}{y \cos y}\times \color{Red}{\frac{y}{y}}\\
\Rightarrow & \lim_{y \to 0} \dfrac{y\cos y \sin y^2}{y^2 \sin y}\\
\Rightarrow & \lim_{y \to 0} \dfrac{\sin y^2}{y^2} \dfrac{y}{\sin y} \cos y\\
\Rightarrow & \lim_{y \to 0} \dfrac{\sin y^2}{y^2}\cdot \lim_{y \to 0} \dfrac{y}{\sin y} \cdot \lim_{y \to 0} \cos y\\
\Rightarrow & 1 \cdot 1 \cdot \cos 0\\
\Rightarrow & 1
\end{split}
SOAL #12
Kurva $y=\dfrac{x^3+x^2+1}{x^3+10}$ memotong asimtot datarnya di titik $x=\ldots$
JAWABAN #12
Asimtot datarnya adalah garis $$y=\lim_{x\to \infty} \dfrac{x^3+x^2+1}{x^3+10}$$ Nilai limit di atas adalah 1 maka asimtot datarnya adalah $$y=1$$ Titik potongnya diperoleh dengan cara mensubstitusikan asimtot ke persamaan kurva
\begin{split}
& \dfrac{x^3+x^2+1}{x^3+10}=1\\
\Rightarrow & x^3+x^2+1=x^3+10\\
\Rightarrow & x^2=9\\
\Rightarrow & x=\pm 3
\end{split} Jadi kurva memotong asimtot datarnya di $x=3$ atau $x=-3$

SOAL #13
Jika $f(x)=\csc(\tan x)$, maka $f'(x)=\ldots$
JAWABAN #13 ada DISINI

SOAL #14
Diketahui $y=3x-5$ adalah garis singgung kurva $y=f(x)$ di $x=4$. Persamaan garis singgung dari kurva $y=f(x)$ di $x=4$. Persamaan garis singgung dari kurva $y=f(x^2)$ di $x=2$ adalah ...
JAWABAN #14
Garis $y=3x-5$ memiliki gradien 3 dan garis tersebut adalah garis singgung kurva $y=f(x)$ di $x=4$ maka $$f'(4)=3$$ Jika $x=4$ maka ordinat titik singgungnya dapat diperoleh dari persamaan garis singgungnya yaitu $y=3\cdot 4-5=7$. Jadi titik singgungnya adalah $(4,7)$ dan nilai $f(4)=7$.

Gradien garis singgung $y=f(x^2)$ di $x=2$ adalah nilai turunannya di $x=2$. Turunannya dapat diperoleh menggunakan aturan rantai $$y'=2xf'(x^2)$$ Substitusikan $x=2$ untuk memperoleh gradiennya
$$m=2\cdot f'(2^2)=4f'(4)=4\cdot 3=12$$
Untuk $x=2$ nilai $y=f(2^2)=f(4)=7$. Jadi titik singgungnya adalah $(x_1,y_1)=(2,7)$. Dengan menggunakan rumus $y-y_1 = m(x-x_1)$ akan didapatkan persamaan garis singgunnya
\begin{split}
& y-7 = 12(x-2)\\
\Rightarrow & y-12x+17=0
\end{split}
SOAL #15
Di dalam kotak I terdapat 12 bola putih dan 3 bola merah. Di dalam kotak II terdapat 4 bola putih dan 4 bola merah. Jika dari kotak I dan kotak II masing-masing diambil 2 bola satu per satu dengan pengembalian, maka peluang yang terambil 1 bola merah adalah ...
JAWABAN #15 ada DISINI

Click to comment