SOAL #1
Jika $a$ dan $b$ memenuhi $\begin{cases}\dfrac{2}{2a-b}+\dfrac{7}{2a+b}=3 \\ \dfrac{1}{2a-b}-\dfrac{7}{2a+b}=0 \end{cases}$ maka $a^2+2b=\ldots$
JAWABAN #1 ada DISINIJika $a$ dan $b$ memenuhi $\begin{cases}\dfrac{2}{2a-b}+\dfrac{7}{2a+b}=3 \\ \dfrac{1}{2a-b}-\dfrac{7}{2a+b}=0 \end{cases}$ maka $a^2+2b=\ldots$
SOAL #2
Seorang pelajar berencana untuk menabung di koperasi yang keuntungannya dihitung setiap semester. Apabila jumlah tabungannya menjadi dua kali lipat dalam 5 tahun, maka besar tingkat suku bunga per tahun adalah ...
JAWABAN #2 ada DISINISeorang pelajar berencana untuk menabung di koperasi yang keuntungannya dihitung setiap semester. Apabila jumlah tabungannya menjadi dua kali lipat dalam 5 tahun, maka besar tingkat suku bunga per tahun adalah ...
SOAL #3
Himpunan S beranggotakan semua bilangan bulat tak negatif x yang memenuhi $\dfrac{x^2-2ax+a^2}{(x+1)(x-4)} < 0$. Berapakah nilai $a$ sehingga hasil penjumlahan semua anggota S minimum ?
Himpunan S beranggotakan semua bilangan bulat tak negatif x yang memenuhi $\dfrac{x^2-2ax+a^2}{(x+1)(x-4)} < 0$. Berapakah nilai $a$ sehingga hasil penjumlahan semua anggota S minimum ?
JAWABAN #3 ada DISINI
SOAL #4
Diketahui vektor $a=(4,6)$, $b=(3,4)$, dan $c=(p,0)$. Jika $|c-a|=10$, maka kosinus sudut antara $b$ dan $c$ adalah ...
JAWABAN #4Diketahui vektor $a=(4,6)$, $b=(3,4)$, dan $c=(p,0)$. Jika $|c-a|=10$, maka kosinus sudut antara $b$ dan $c$ adalah ...
\begin{split}
& |c-a|=10\\
\Rightarrow & |(p,0)-(4,6)|=10\\
\Rightarrow & \sqrt{(p-4)^2+(0-6)^2}=10\\
\Rightarrow & p^2-8p+16+36=100\\
\Rightarrow & p^2-8p-48=0\\
\Rightarrow & (p-12)(p+4)=0\\
\Rightarrow & p=12 \vee p=-4
\end{split}Misalkan sudut antara $b$ dan $c$ adalah $\theta$ maka
\begin{split}
\cos \theta = & \dfrac{b \cdot c}{|b||c|}\\
= & \dfrac{(3,4)\cdot (p,0)}{|(3,4)||(p,0)|}\\
= & \dfrac{3p+0}{\sqrt{3^2+4^2}\sqrt{p^2+0^2}}\\
= & \dfrac{3p}{5|p|}
\end{split}Karena nilai $p$ ada dua kemungkinan positif dan negatif, maka kosinus sudut yang mungkin juga ada dua yaitu $$\dfrac{3}{5} \text{ atau } -\dfrac{3}{5}$$
SOAL #5
Jika $x$ memenuhi $-2\csc x + 2\cot x + 3\sin x=0$ untuk $0 < x < \pi$, maka $\cos x = \ldots$
Jika $x$ memenuhi $-2\csc x + 2\cot x + 3\sin x=0$ untuk $0 < x < \pi$, maka $\cos x = \ldots$
JAWABAN #5
\begin{split}
& -2\csc x + 2\cot x + 3\sin x=0\\
\Rightarrow & \dfrac{-2}{\sin x} + \dfrac{2\cos x}{\sin x} + \dfrac{3\sin^2 x}{\sin x}=0\\
\Rightarrow & \dfrac{-2+2\cos x+3\sin^2 x}{\sin x}=0\\
\Rightarrow & -2+2\cos x+3(1-\cos^2 x)=0\\
\Rightarrow & -2+2\cos x+3-3\cos^2 x=0\\
\Rightarrow & 3\cos^2 x - 2\cos x-1=0\\
\Rightarrow & (3\cos x + 1)(\cos x - 1) =0\\
\Rightarrow & \cos x = -\dfrac{1}{3} \vee \cos x = 1
\end{split}
Karena $0 < x < \pi$ maka $\cos x = -\dfrac{1}{3}$
& -2\csc x + 2\cot x + 3\sin x=0\\
\Rightarrow & \dfrac{-2}{\sin x} + \dfrac{2\cos x}{\sin x} + \dfrac{3\sin^2 x}{\sin x}=0\\
\Rightarrow & \dfrac{-2+2\cos x+3\sin^2 x}{\sin x}=0\\
\Rightarrow & -2+2\cos x+3(1-\cos^2 x)=0\\
\Rightarrow & -2+2\cos x+3-3\cos^2 x=0\\
\Rightarrow & 3\cos^2 x - 2\cos x-1=0\\
\Rightarrow & (3\cos x + 1)(\cos x - 1) =0\\
\Rightarrow & \cos x = -\dfrac{1}{3} \vee \cos x = 1
\end{split}
SOAL #6
Jika hiperbola $\dfrac{x^2-2nx+n^2}{25}-\dfrac{y^2-2my+m^2}{16}=1$ memiliki asimtot yang memotong sumbu Y di titik (0,1), maka $5m-4n=\ldots$
hiperbola di atas dapat juga dituliskan dalam bentuk $$\dfrac{(x-n)^2}{5^2}-\dfrac{(y-m)^2}{4^2}=1$$ Persamaan asimtot hiperbola tersebut adalah
\begin{split}
& \dfrac{(x-n)^2}{5^2}-\dfrac{(y-m)^2}{4^2}=0\\
\Rightarrow & \dfrac{(x-n)^2}{5^2}=\dfrac{(y-m)^2}{4^2}\\
\Rightarrow & \dfrac{x-n}{5}=\pm \dfrac{y-m}{4}
\end{split}Asimtot tersebut memotong sumbu Y di (0,1) maka
\begin{split}
& \dfrac{0-n}{5}=\pm \dfrac{1-m}{4}\\
\Rightarrow & -4n = \pm (5-5m)\\
\Rightarrow & -4n = \pm 5 \mp 5m\\
\Rightarrow & \pm 5m -4n = \pm 5\\
\Rightarrow & 5m -4n = 5 \vee -5m-4n=-5\\
\end{split} Jadi $5m-4n=5$
SOAL #7
Hasil bagi $p(x)=(a-2b)x^3+(a+b)x^2+1$ oleh $x-1$ adalah $q(x)$ dengan sisa 1. Jika $q(x)$ dibagi $x+2$ bersisa $-8$ maka $a+b=\ldots$
JAWABAN #7 ada DISINIHasil bagi $p(x)=(a-2b)x^3+(a+b)x^2+1$ oleh $x-1$ adalah $q(x)$ dengan sisa 1. Jika $q(x)$ dibagi $x+2$ bersisa $-8$ maka $a+b=\ldots$
SOAL #8
Diketahui suatu lingkaran kecil dengan radius $3\sqrt{2}$ melalui pusat suatu lingkaran besar dengan radius 6. Ruas garis yang menghubungkan dua titik potong lingkaran merupakan diameter dari lingkaran kecil, seperti pada gambar. Luas daerah irisan kedua lingkaran adalah ...
JAWABAN #8 ada DISINI SOAL #9
Jika $\int_{-4}^4 f(x)(\sin x + 1)\ dx = 8$, dengan $f(x)$ fungsi genap dan $\int_{-2}^4 f(x) dx = 4$, maka $\int_{-2}^0 f(x)\ dx$ adalah ...
JAWABAN #9 ada DISINIJika $\int_{-4}^4 f(x)(\sin x + 1)\ dx = 8$, dengan $f(x)$ fungsi genap dan $\int_{-2}^4 f(x) dx = 4$, maka $\int_{-2}^0 f(x)\ dx$ adalah ...
SOAL #10
$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x+x\cos x}{\sin x \cos x}=\ldots$
JAWABAN #10 ada DISINI$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x+x\cos x}{\sin x \cos x}=\ldots$
SOAL #11
$\lim\limits_{x \to \infty} \csc \dfrac{1}{x} - \cot \dfrac{1}{x}=\ldots$
JAWABAN #11$\lim\limits_{x \to \infty} \csc \dfrac{1}{x} - \cot \dfrac{1}{x}=\ldots$
Misalkan $y=\dfrac{1}{x}$. Jika $x\to \infty$ maka $y \to 0$. Jadi
\begin{split}
& \lim_{x \to \infty} \csc \dfrac{1}{x} - \cot \dfrac{1}{x}\\
= & \lim_{y \to 0} \csc y - \cot y \\
= & \lim_{y \to 0} \dfrac{1}{\sin y} - \dfrac{\cos y}{\sin y} \\
= & \lim_{y \to 0} \dfrac{1-\cos y}{\sin y} \\
= & \lim_{y \to 0} \dfrac{1-\left(1-2\sin^2 \frac{1}{2}y \right)}{\sin y} \\
= & \lim_{y \to 0} \dfrac{2\sin^2 \frac{1}{2}y}{\sin y} \\
= & \lim_{y \to 0} 2\dfrac{\sin \frac{1}{2}y}{\sin y}\cdot \sin \frac{1}{2}y \\
= & 2\cdot \dfrac{1}{2} \cdot 0 \\
= & 0
\end{split}
SOAL #12
Diberikan fungsi rasional $y=\dfrac{3x^2-3x+7}{x^2-5x+4}$ dan $y=\dfrac{ax^2-3x+2}{bx^2+2x-3}$, $a > 0$. Jika diketahui kedua kurva mempunyai sebuah asimtot tegak yang sama dan asimtot datar keduanya berjarak 4 satuan, maka $a=\ldots$
A. 2
B. 3
C. 5
D. 6
E. 7
JAWABAN #12Diberikan fungsi rasional $y=\dfrac{3x^2-3x+7}{x^2-5x+4}$ dan $y=\dfrac{ax^2-3x+2}{bx^2+2x-3}$, $a > 0$. Jika diketahui kedua kurva mempunyai sebuah asimtot tegak yang sama dan asimtot datar keduanya berjarak 4 satuan, maka $a=\ldots$
A. 2
B. 3
C. 5
D. 6
E. 7
Misalkan $y_1=\dfrac{3x^2-3x+7}{x^2-5x+4}$ dan $y_2=\dfrac{ax^2-3x+2}{bx^2+2x-3}$.
Asimtot datar kedua $y_1$ dan $y_2$ berturut-turut adalah
\begin{split}
& y=\lim_{x \to \infty} \dfrac{3x^2-3x+7}{x^2-5x+4}\\
\Rightarrow & y=3
\end{split} dan
\begin{split}
& y=\lim_{x \to \infty} \dfrac{ax^2-3x+2}{bx^2+2x-3}\\
\Rightarrow & y=\dfrac{a}{b}
\end{split}Jarak antara keduanya adalah 4 berarti
\begin{split}
& \left|\dfrac{a}{b} -3 \right|=4\\
\Rightarrow & \dfrac{a}{b} -3=4 \vee \dfrac{a}{b} -3=-4\\
\Rightarrow & \dfrac{a}{b} =7 \vee \dfrac{a}{b} =-1\\
\Rightarrow & a=7b \vee a=-b
\end{split}
$y_1$ juga dapat dinyatakan dengan $$y_1=\dfrac{3x^2-3x+7}{(x-1)(x-4)}$$ Perhatikan pembilang $y_1$ di atas tidak memiliki faktor $x-1$ ataupun $x-4$, akibatnya garis $x=1$ dan $x=4$ adalah asimtot $y_2$
Salah satu asimtot kedua kurva sama, ini berarti $x=1$ atau $x=4$ akan menjadi asimtot $y_2$ juga.
Jika asimtot yang sama adalah garis $x=1$ maka penyebut $y_2$ akan bernilai 0 untuk $x=1$ yakni $$b+2-3=0 \Rightarrow b=1$$ Karena $b=1$, pilih $a=7b$ maka $a=7$.Kita tidak bisa memilih $a=-b$ karena akan diperoleh $a < 0$. Kita juga bisa saja memilih asimtot tegak yang sama adalah $x=4$ tetapi akan diperoleh nilai $b$ yang bukan bilangan bulat, sedangkan pilihan jawabannya bilangan bulat.
SOAL #13
Misalkan $f(x) = \sin(\cos^2x)$, maka $f'(x) = \ldots$
SOAL #14
Jika garis singgung dari kurva $y=x^3 + a\sqrt{x}$ di titik $(1,b)$ adalah $y=ax-c$, maka $a+b+c=\ldots$
JAWABAN #14 ada DISINIJika garis singgung dari kurva $y=x^3 + a\sqrt{x}$ di titik $(1,b)$ adalah $y=ax-c$, maka $a+b+c=\ldots$
SOAL #15
Di dalam kotak I terdapat 12 bola putih dan 3 bola merah. Di dalam kotak II terdapat 4 bola putih dan 4 bola merah. Jika dari kotak I dan kotak II masing-masing diambil 2 bola satu per satu dengan pengembalian, maka peluang yang terambil 1 bola merah adalah ...
JAWABAN #15 ada DISINIDi dalam kotak I terdapat 12 bola putih dan 3 bola merah. Di dalam kotak II terdapat 4 bola putih dan 4 bola merah. Jika dari kotak I dan kotak II masing-masing diambil 2 bola satu per satu dengan pengembalian, maka peluang yang terambil 1 bola merah adalah ...