Type something and hit enter

author photo
By On
Soal #51
Akan dikonstruksi barisan aritmatika dengan beda $b$ yang semua sukunya positif dan terdiri dari $n$ suku, serta suku ke-$n$ dikurangi suku pertama adalah 30. Jika $n=b+2$, maka suku ke-6 dikurangi suku ke-4 adalah ...

Pembahasan
Misalkan suku pertama barisan tersebut adalah $a$ maka rumus suku ke-$n$ barisan tersebut adalah $U_n=a+(n-1)b$.

Suku ke-$n$ dikurangi suku pertama adalah 30 maka
\begin{split}
& a+(n-1)b -a=30\\
\Rightarrow & (n-1)b=30\\
\Rightarrow & (b+2-1)b=30\\
\Rightarrow & (b+1)b=30\\
\Rightarrow & b^2+b-30=0\\
\Rightarrow & (b+6)(b-5)=0\\
\Rightarrow & b=-6 \vee b=5
\end{split}Karena semua sukunya positif maka $b=5$.

Jadi $U_6-U_4=(a+5b)-(a+3b)=2b=10$

Soal #52
Seseorang memelihara ikan di suatu kolam. Rata-rata bobot ikan per ekor pada saat panen dari kolam tersebut adalah (6 − 0,02x) kg, dengan x menyatakan banyak ikan yang dipelihara. Maksimum total bobot semua ikan pada saat panen yang mungkin adalah ... kg

Pembahasan
Misalkan $T$ adalah total bobot ikan yang dipanen maka rata-ratanya adalah $\dfrac{T}{x}$, tetapi karena rata-ratanya juga $(6 − 0.02x)$ maka dapat dibuat persamaan
\begin{split}
& \dfrac{T}{x} = 6 - 0.02x\\
\Rightarrow & T = 6x-0.02x^2\\
\Rightarrow & T = -0.02x^2+6x
\end{split}
Dengan menggunakan teori fungsi kuadrat, $T$ akan maksimum jika $x=-\dfrac{6}{2(-0.02)} = 150$. Jadi maksimum total bobot semua ikan pada saat panen yang mungkin adalah $T = −0.02(150)^2 + 6(150) = 450$

Soal #53
Suku pertama suatu barisan geometri dengan rasio $r$ tidak nol. Jika jumlah 6 suku pertama barisan tersebut sama dengan sembilan kali jumlah 3 suku pertamanya, maka nilai $r^2-2r$ adalah ...

Pembahasan
Misalkan suku awal barisan tersebut adalah $a$ maka jumlah 6 suku pertama barisan tersebut adalah $$a\dfrac{r^6-1}{r-1}$$ Sedangkan jumlah 3 suku pertamanya adalah $$a\dfrac{r^3-1}{r-1}$$ Oleh karena itu
\begin{split}
& a\dfrac{r^6-1}{r-1}=9a\dfrac{r^3-1}{r-1}\\
\Rightarrow & r^6-1=9(r^3-1)\\
\Rightarrow & \dfrac{r^6-1}{r^3-1}=9\\
\Rightarrow & \dfrac{(r^3+1)(r^3-1)}{r^3-1}=9\\
\Rightarrow & r^3+1=9\\
\Rightarrow & r=2
\end{split} Jadi $r^2-2r=2^2-2\cdot 2=0$

Soal #54
Diketahui fungsi $f(x)=ax+b$ dengan $b \geq 0$ dan $g(x)=x^2+1$, serta $(f\circ g)(2)=8$ dan $(g\circ f)(0)=10$, maka nilai $a+b$ adalah ...

Pembahasan
\begin{split}
& (g\circ f)(0)=10\\
\Rightarrow & g(f(0))=10\\
\Rightarrow & g(b)=10\\
\Rightarrow & b^2+1=10\\
\Rightarrow & b^2=9\\
\Rightarrow & b=3
\end{split} \begin{split}
& (f\circ g)(2)=8\\
\Rightarrow & f(g(2))=8\\
\Rightarrow & f(5)=8\\
\Rightarrow & 5a+3=8\\
\Rightarrow & a=1
\end{split} Jadi $a+b=1+3=4$

Soal #55
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan P adalah titik tengah HG dan Q adalah titik tengah BC. Jika jarak P ke Q adalah 6 cm, maka panjang rusuk kubus tersebut adalah ... cm

Pembahasan
Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Matematika Dasar
Segitiga PGQ pada gambar di atas adalah segitiga siku-siku di G. Misalkan panjang rusuknya adalah $r$, maka $$PG=\frac{r}{2}$$ dan $$GQ=\sqrt{r^2+\left(\frac{r}{2}\right)^2}=\sqrt{\frac{5}{4}r^2}$$ Dengan rumus pythagoras
\begin{split}
& PG^2+GQ^2=PQ^2\\
\Rightarrow & \frac{r^2}{4}+\frac{5r^2}{4}=36\\
\Rightarrow & \frac{6r^2}{4}=36\\
\Rightarrow & r^2=24\\
\Rightarrow & r=2\sqrt{6}
\end{split}
Part 1: nomer 46 - 50
Part 2: nomer 51 - 55
Part 3: nomer 56 - 60

Click to comment