Type something and hit enter

author photo
By On
Soal #11
$\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{\cos^2 \left(\dfrac{2}{x} \right)}{x \tan \left(\dfrac{1}{2x} \right)} = \ldots$

Penyelesaian
Misalkan $\dfrac{1}{x}=y$ maka $x=\dfrac{1}{y}$. Jika $x \to \infty$ maka $y \to 0$, Akibatnya limit di atas dapat ditulis kembali menjadi
\begin{split}
& \lim_{x \to \infty} \dfrac{\cos^2 \left(\dfrac{2}{x} \right)}{x \tan \left(\dfrac{1}{2x} \right)}\\
= & \lim_{y \to 0} \dfrac{\cos^2 2y}{\frac{1}{y} \tan \left(\dfrac{y}{2} \right)}\\
= & \dfrac{\lim\limits_{y \to 0} \cos^2 2y}{\lim\limits_{y \to 0} \dfrac{\tan \left(\dfrac{y}{2} \right)}{y}}\\
= & \dfrac{1}{\frac{1}{2}}\\
= & 2
\end{split}
Soal #12
Diketahui asimtot tegak fungsi $f(x)=\dfrac{\sqrt{ax+1}}{b-\sqrt{x+a}}$ dengan $a > 0$ adalah $y=-2$. Jika asimtot tegak dari $f$ adalah $x=x_1$ dengan $ax_1=20$, maka $a+b$ adalah ...

Penyelesaian
Mungkin di soal ini terjadi salah pengetikan pada kata-kata yang digarisbawahi. Seharusnya asimtot datar.

Karena asimtot datarnya adalah $y=-2$ maka $\lim\limits_{x \to \infty} f(x)=-2$
$$\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{ax+1}}{b-\sqrt{x+a}} =-2$$ Kalikan ruas kiri dengan $\dfrac{\frac{1}{\sqrt{x}}}{\frac{1}{\sqrt{x}}}$ akan diperoleh
\begin{split}
& \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{ax+1}}{b-\sqrt{x+a}} \times \dfrac{\frac{1}{\sqrt{x}}}{\frac{1}{\sqrt{x}}} =-2\\
\Rightarrow & \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{a+\frac{1}{x}}}{\frac{b}{\sqrt{x}}-\sqrt{1+\frac{1}{x}}} = -2\\
\Rightarrow & \dfrac{\sqrt{a+0}}{0-\sqrt{1+0}} = -2\\
\Rightarrow & \dfrac{\sqrt{a}}{-1} = -2\\
\Rightarrow & \sqrt{a} = 2\\
\Rightarrow & a = 4
\end{split} Karena $ax_1=20$ dan $a=4$ maka $x_1=5$ sehingga asimtot tegak nya adalah $x=5$. Ini berarti penyebut dari $f$ akan bernilai $0$ untuk $x=5$.
\begin{split}
& b-\sqrt{5+4} = 0\\
\Rightarrow & b = 3
\end{split} Jadi $a+b=4+3=7$

Soal #13
Jika $f(x)=\cos^2 (\sin 2x)$, maka $f'(x)=\ldots$

Penyelesaian
Misalkan $u=\sin 2x$ maka $\dfrac{du}{dx}=2\cos 2x$ dan $f=\cos^2 (u)$. Jadi
\begin{split}
f'(x) & = \frac{df}{dx}\\
& = \frac{df}{du}\cdot \frac{du}{dx}\\
& = 2\cos u \cdot -\sin u \cdot 2\cos 2x\\
& = -\sin 2u \cdot 2\cos 2x\\
& = -2\sin(2\sin 2x)\cos 2x
\end{split}
Soal #14
Jika garis singgung dari kurva $y=x^3 + a\sqrt{x}$ di titik $(1,b)$ adalah $y=ax-c$, maka $a+b+c=\ldots$

Penyelesaian
Gradien garis singgung dari kurva $y=x^3 + a\sqrt{x}$ di titik $(1,b)$ adalah nilai turunan pertama kurva $y=x^3 + a\sqrt{x}$ di titik $x=1$. $$y' = 3x^2 + \dfrac{a}{2\sqrt{x}}$$ Substitusikan $x=1$ diperoleh gradien $$m = 3 + \dfrac{a}{2}$$ Karena persamaan garis singgung tersebut adalah $y=ax-c$, maka gradiennya juga $m=a$ akibatnya $$3+\dfrac{a}{2}$=a$$ Dari persamaan di atas diperoleh $a=6$. sehingga persamaan kurva adalah $$y=x^3+6\sqrt{x}$$ Kurva tersebut melalui titik $(1,b)$ berarti $$b=1^3+6\sqrt{1}=7$$ Dengan rumus $y-y_1=m(x-x_1)$ diperoleh persamaan garis singgungnya
\begin{split}
& y-7=6(x-1)\\
\Rightarrow & y=6x+1
\end{split}
Dari persamaan di atas diperoleh $-c=1\Rightarrow c=-1$. Jadi $a+b+c=6+7-1=12$

Soal #15
Di dalam kotak I terdapat 12 bola putih dan 3 bola merah. Di dalam kotak II terdapat 4 bola putih dan 4 bola merah. Jika dari kotak I dan kotak II masing-masing diambil 2 bola satu per satu dengan pengembalian, maka peluang yang terambil 1 bola merah adalah ...

Penyelesaian
Kemungkinan terambil 1 bola merah yaitu
a) dari kotak I terambil satu merah satu putih dan dari kotak II terambil keduanya putih
b) dari kotak I terambil keduanya putih dan dari kotak II terambil satu merah satu putih

Kasus pertama
dari kotak I terambil satu merah satu putih, peluangnya adalah $2\cdot \dfrac{3}{15}\cdot\dfrac{12}{15}=\dfrac{8}{25}$ (perkalian dengan 2 karena urutan bisa putih dulu kemudian merah atau merah dulu baru putih)
dari kotak II terambil keduanya putih, peluangnya adalah $\dfrac{4}{8}\cdot\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{4}$
sehingga peluang terjadinya kasus pertama adalah $\dfrac{8}{25} \cdot \dfrac{1}{4}= \dfrac{2}{25}$

Kasus kedua
dari kotak I terambil keduanya putih, peluangnya adalah $\dfrac{12}{15}\cdot \dfrac{12}{15}=\dfrac{16}{25}$
dari kotak II terambil satu merah satu putih, peluangnya adalah $2 \dfrac{4}{8}\cdot\dfrac{4}{8}=\dfrac{2}{4}$
sehingga peluang terjadinya kasus kedua adalah $\dfrac{16}{25} \cdot \dfrac{2}{4} = \dfrac{8}{25}$

Jadi peluang yang terambil 1 bola merah adalah $\dfrac{2}{25}+\dfrac{8}{25}=\dfrac{10}{25}=0.4$

Part 1: nomer 1 - 5
Part 2: nomer 6 - 10
Part 3: nomer 11 - 15

Click to comment