Type something and hit enter

author photo
By On
Soal #6
Suatu hiperbola memiliki dua fokus $F_1$ dan $F_2$ yang terletak pada sumbu Y. Jarak kedua fokus tersebut 12, sedangkan jarak kedua puncaknya 10. Jika $P$ adalah salah satu titik potong dengan garis mendatar melalui $F_1$, maka panjang $PF_1 + PF_2=\ldots$

Penyelesaian
Karena kedua fokus parabola terletak pada sumbu Y maka dapat dimisalkan parabola tersebut adalah parabola vertikal dengan pusat $(0,0)$ yang persamaannya $$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$$ dan sketsanya seperti berikut
Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Kode 147 Matematika IPA
Jarak antara kedua puncaknya adalah 10 maka $2a=10 \Rightarrow a=5$

Jarak antara kedua fokusnya adalah 12 maka $2c=12 \Rightarrow c=6$

Salah satu karakteristik parabola adalah $a^2+b^2=c^2$, dengan menggunakannya diperoleh nilai $b^2=11$

$PF_1$ merupakan setengah dari panjang latus rectum hiperbola dan dinyatakan dengan $\dfrac{b^2}{a}$. Dengan demikian $PF_1=\dfrac{11}{5}=2.2$

$PF_2$ dapat dihitung menggunakan rumus pythagoras
\begin{split}
PF_2 = & \sqrt{PF_1^2+F_1F_2^2}\\
= & \sqrt{12^2+2.2^2}\\
= & \sqrt{148.84}\\
= & 12.2
\end{split}
Jadi $PF_1+PF_2 = 12.2+2.2=14.4$

Soal #7
Jika sisa pembagian $q(x)=2bx^3+cx+2$ oleh $(x-1)$ adalah $5$ dan $p(x)=x^2+2bx+c$ oleh $(x+1)$ adalah $6$, maka $4b+c=\ldots$

Penyelesaian
Sisa pembagian $q(x)$ oleh $(x-1)$ adalah $5$ maka $$q(1)=5\Rightarrow 2b+c+2=5$$ Sisa pembagian $p(x)$ oleh $(x+1)$ adalah $6$ maka $$p(-1)=6 \Rightarrow 1-2b+c=6$$ Dengan menyelesaikan sistem persamaan yang didapatkan dari dua persamaan di atas
\begin{split}
2b+c & = 3\\
-2b+c & = 5
\end{split} didapatkan $4b=-2$ dan $c=4$. Jadi $4b+c=-2+4=2$

Soal #8
Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Kode 147 Matematika IPA
Diketahui suatu lingkaran kecil dengan radius $3\sqrt{2}$ melalui pusat suatu lingkaran besar dengan radius 6. Ruas garis yang menghubungkan dua titik potong lingkaran merupakan diameter dari lingkaran kecil, seperti pada gambar. Luas daerah irisan kedua lingkaran adalah ...

Penyelesaian
Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Kode 147 Matematika IPA
Daerah irisan tersebut terdiri dari dua tembereng lingkaran, oleh karena itu akan dihitung satu persatu kemudian jumlahkan hasilnya.

Bagian pertama
Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Kode 147 Matematika IPA
Pada gambar di atas daerah berwarna biru merupakan tembereng lingkaran besar. Luasnya diperoleh dari Luas juring DAE dikurangi luas segitiga DAE.

Karena DE merupakan diameter lingkaran kecil maka sudut DAE adalah sudut siku-siku, sehingga luas juring DAE adalah $\dfrac{90^{\circ}}{360^{\circ}}\pi \cdot 6^2=9 \pi$ dan luas segitiga DAE adalah $\dfrac{DA\cdot EA}{2}=\dfrac{6\cdot 6}{2}=18$. Oleh karena itu luas tembereng di atas (warna biru) adalah $9\pi - 18$.

Bagian kedua
Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Kode 147 Matematika IPA
Daerah berwarna biru di atas merupakan daerah setengah lingkaran yang kecil(karena DE adalah diameter), yang luasnya $\dfrac{1}{2}\pi \cdot (3\sqrt{2})^2 = 9\pi$.

Jadi luas daerah irisan tersebut adalah $9\pi - 18 + 9\pi= 18\pi-18$

Soal #9
Jika $\int_{-4}^4 f(x)(\sin x + 1)\ dx = 8$, dengan $f(x)$ fungsi genap dan $\int_{-2}^4 f(x) dx = 4$, maka $\int_{-2}^0 f(x)\ dx$ adalah ...

Penyelesaian
\begin{split}
& \int_{-4}^4 f(x)(\sin x + 1)\ dx = 8\\
\Rightarrow & \int_{-4}^4 f(x) \sin x\ dx + \int_{-4}^4 f(x)\ dx = 8
\end{split}
$f(x)$ fungsi genap dan $\sin x$ fungsi ganjil maka $f(x) \sin x$ merupakan fungsi ganjil sehingga $\int_{-4}^4 f(x) \sin x\ dx=0$ dan $\int_{-4}^4 f(x)\ dx = 2 \int_{0}^4 f(x)\ dx$. Oleh karena itu
\begin{split}
& \int_{-4}^4 f(x) \sin x\ dx + \int_{-4}^4 f(x)\ dx = 8\\
\Rightarrow & 0 + \int_{-4}^4 f(x)\ dx = 8\\
\Rightarrow & \int_{-4}^4 f(x)\ dx = 8\\
\Rightarrow & 2 \int_{0}^4 f(x)\ dx = 8\\
\Rightarrow & \int_{0}^4 f(x)\ dx = 4\\
\Rightarrow & \int_{0}^4 f(x)\ dx = 4
\end{split}
Dengan demikian
\begin{split}
& \int_{-2}^4 f(x) dx = 4\\
\Rightarrow & \int_{-2}^0 f(x) dx + \int_{0}^4 f(x)\ dx = 4\\
\Rightarrow & \int_{-2}^0 f(x) dx + 4 = 4\\
\Rightarrow & \int_{-2}^0 f(x) dx = 0
\end{split} Referensi: Fungsi Ganjil dan Genap

Soal #10
Nilai $\lim\limits_{x \to \dfrac{\pi}{2}} \dfrac{x \cot^2 x}{1-\sin x}$ adalah ...

Penyelesaian
\begin{split}
& \lim_{x \to \dfrac{\pi}{2}} \dfrac{x \cot^2 x}{1-\sin x}\\
= & \lim_{x \to \dfrac{\pi}{2}} \dfrac{x (\csc^2 x - 1)}{1-\sin x}\\
= & \lim_{x \to \dfrac{\pi}{2}} \dfrac{x \left(\frac{1}{\sin^2 x} - 1\right)}{1-\sin x} \times \dfrac{\sin^2 x}{\sin^2 x}\\
= & \lim_{x \to \dfrac{\pi}{2}} \dfrac{x (1 - \sin^2 x)}{(1-\sin x)\sin^2 x}\\
= & \lim_{x \to \dfrac{\pi}{2}} \dfrac{x (1 - \sin x)(1 + \sin x)}{(1-\sin x)\sin^2 x}\\
= & \lim_{x \to \dfrac{\pi}{2}} \dfrac{x (1 + \sin x)}{\sin^2 x}\\
= & \dfrac{\frac{\pi}{2} \left(1 + \sin \dfrac{\pi}{2}\right)}{\sin^2 \dfrac{\pi}{2}}\\
= & \dfrac{\dfrac{\pi}{2} \left(1 + 1\right)}{1^2}\\
= & \pi
\end{split}
Part 1: nomer 1 - 5
Part 2: nomer 6 - 10
Part 3: nomer 11 - 15

Click to comment