Type something and hit enter

author photo
By On
Soal #1
Jika $x,y$ adalah bilangan positif yang merupakan solusi dari sistem: $\begin{cases}
2x^2 - \dfrac{1}{y^2} = -2 \\
x^2 + \dfrac{2}{y^2}=9
\end{cases}$ maka $x^2 + 4y^2=\ldots$

Penyelesaian
Misalkan $a=x^2$ dan $b=\dfrac{1}{y^2}$ maka sistem di atas dapat ditulis kembali menjadi \begin{split}
2a - b & = -2\\
a + 2b & = 9
\end{split} Dengan menyelesaikan SPLDV di atas diperoleh nilai $a=x^2=1$ dan $b=\dfrac{1}{y^2}=4 \Rightarrow y^2 = \dfrac{1}{4}$. Dengan demikian $x^2 + 4y^2=1+1=2$

Soal #2
Seorang pelajar berencana untuk menabung di koperasi yang keuntungannya dihitung setiap semester. Apabila jumlah tabungannya menjadi dua kali lipat dalam 5 tahun, maka besar tingkat suku bunga per tahun adalah ...

Penyelesaian
Misalkan tabungan awalnya $= M$, suku bunga yang didapat sebesar $b$, maka setelah 5 tahun (10 semester) tabungannya menjadi $M(1 + b)^{10}$. Tetapi karena setelah 5 tahun tabungannya menjadi dua kali lipat maka diperoleh persamaan
\begin{split}
& M(1+b)^{10}=2M\\
\Rightarrow & (1+b)^{10}=2\\
\Rightarrow & 1+b=\sqrt[10]{2}\\
\Rightarrow & b=\sqrt[10]{2}-1
\end{split}
Jadi besar tingkat suku bunga per tahun adalah $2b = 2(\sqrt[10]{2}-1)$

Soal #3
Himpunan penyelesaian dari $\dfrac{x}{x+x^2} \geq -\dfrac{x^2}{x-x^2}$ adalah ...

Penyelesaian
\begin{split}
& \frac{x}{x+x^2} \geq -\frac{x^2}{x-x^2}\\
\Rightarrow & \frac{x}{x+x^2} + \frac{x^2}{x-x^2}\geq 0\\
\Rightarrow & \frac{x}{x(1+x)} + \frac{x^2}{x(1-x)}\geq 0\\
\Rightarrow & \frac{x(1-x)}{x(1+x)(1-x)} + \frac{x^2(1+x)}{x(1-x)(1+x)}\geq 0\\
\Rightarrow & \frac{x(1-x)+x^2(1+x)}{x(1+x)(1-x)}\geq 0\\
\Rightarrow & \frac{x-x^2+x^2+x^3}{x(1+x)(1-x)}\geq 0\\
\Rightarrow & \frac{x+x^3}{x(1+x)(1-x)}\geq 0\\
\Rightarrow & \frac{x(1+x^2)}{x(1+x)(1-x)}\geq 0
\end{split}
Karena $1+x^2$ Definit Positif maka pembuat nol pertidaksamaan di atas hanyalah $x=0$, $x=-1$ dan $x=1$. Sketsa pada garis bilangan kemudian uji titik untuk mengetahui mana nilai $x$ yang merupakan penyelesaian.
Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Kode 161 Matematika IPA
Berdasarkan ilustrasi di atas diperoleh himpunan penyelesaian $$\{x|-1 < x < 0 \vee 0 < x < 1\}$$
Soal #4
Diketahui tiga vektor $a$, $b$ dan $c$ dengan $b \cdot c = 9$ dan $c = b + a$. Misalkan $\gamma$ adalah sudut antara $a$ dan $c$. Jika $\gamma = 30^{\circ}$ dan $|c| = 6$, maka $|a| = \ldots$

Penyelesaian
\begin{split}
& c=b+a\\
\Rightarrow & a=c-b\\
\Rightarrow & a\cdot a =(c-b)\cdot (c-b)\\
\Rightarrow & |a|^2 =c\cdot c-2b\cdot c+b\cdot b\\
\Rightarrow & |a|^2 =|c|^2-2(9)+|b|^2\\
\Rightarrow & |a|^2 =6^2-18+|b|^2\\
\Rightarrow & |a|^2 =18+|b|^2\text{ ...(1)}
\end{split}
Kemudian dari persamaan yang sama dapat dibuat menjadi
\begin{split}
& c=b+a\\
\Rightarrow & b=c-a\\
\Rightarrow & b\cdot b =(c-a)\cdot (c-a)\\
\Rightarrow & |b|^2 =c\cdot c-2a\cdot c+a\cdot a\\
\Rightarrow & |b|^2 =|c|^2-2|a||c|\cos \gamma +|a|^2\\
\Rightarrow & |b|^2 =6^2-2|a|\cdot 6 \cos 30^{\circ}+|a|^2\\
\Rightarrow & |b|^2 =36-6\sqrt{3}|a|+|a|^2\text{ ...(2)}
\end{split}
Subsitusikan persamaan (2) ke persamaan (1) sehingga diperoleh
\begin{split}
& |a|^2 =18+|b|^2\\
\Rightarrow & |a|^2 =18+36-6\sqrt{3}|a|+|a|^2\\
\Rightarrow & 0 = 54-6\sqrt{3}|a|\\
\Rightarrow & 6\sqrt{3}|a| = 54\\
\Rightarrow & |a| = \frac{9}{\sqrt{3}}\\
\Rightarrow & |a| = 3\sqrt{3}
\end{split}
Soal #5
Jika $x_1$ dan $x_2$ adalah solusi dari $\sec x - 2 - 15\cos x = 0$ dengan $0 \leq x \leq \pi$, $x\neq \dfrac{\pi}{2}$. Maka $\dfrac{1}{\cos x_1 \cos x_2}=\ldots$

Penyelesaian
Karena $0 \leq x \leq \pi$ dan $x\neq \dfrac{\pi}{2}$ maka $\cos x$ tidak mungkin bernilai 0. Akibatnya kedua ruas persamaan boleh dikali dengan $\cos x$ sehingga diperoleh
\begin{split}
& \sec x - 2 - 15\cos x = 0\\
\Rightarrow & 1-2\cos x -15\cos^2 x = 0
\end{split} Misalkan $\cos x = y$ maka persamaan di atas dapat ditulis kembali menjadi $$-15y^2-2y+1=0$$ Dengan menggunakan rumus hasil kali akar persamaan kuadrat didapatkan $$y_1y_2 = \frac{1}{-15} \Rightarrow \frac{1}{y_1y_2}=-15$$ Jadi $$\dfrac{1}{\cos x_1 \cos x_2}=\dfrac{1}{y_1y_2}=-15$$

Part 1: nomer 1 - 5
Part 2: nomer 6 - 10
Part 3: nomer 11 - 15

Click to comment