Type something and hit enter

author photo
By On
Soal #11
$\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{\cot \dfrac{1}{4x}}{\csc \dfrac{1}{3x}}=\ldots$

Penyelesaian
Misalkan $\dfrac{1}{x}=y$ maka $x = \dfrac{1}{y}$ dan jika $x \to \infty$ maka $y\to 0$, sehingga bentuk limit di atas dapat ditulis kembali menjadi
\begin{split}
& \lim_{x \to \infty} \dfrac{\cot \dfrac{1}{4x}}{\csc \dfrac{1}{3x}}\\
= & \lim_{y \to 0} \dfrac{\cot \dfrac{1}{4}y}{\csc \dfrac{1}{3}y}\\
= & \lim_{y \to 0} \dfrac{\sin \dfrac{1}{3}y}{\tan \dfrac{1}{4}y}\\
= & \dfrac{\dfrac{1}{3}}{\dfrac{1}{4}}\\
= & \dfrac{4}{3}
\end{split}
Soal #12
Diketahui fungsi $f(x)=\dfrac{\sqrt{4-x}}{b-\sqrt{ax+13}}$ dengan asimtot datarnya adalah $y=\dfrac{1}{2}$. Jika asimtot tegak grafik fungsi $f$ adalah $x=x_1$ dengan $\dfrac{a}{x_1}=-4$, maka $a-b$ adalah ...

Penyelesaian
Perhatikan bahwa untuk $x\to \infty$ $f(x)$ tidak memiliki nilai dan jika $x\to -\infty$ nilai $f(x)$ akan menuju bilangan negatif dan tidak mungkin $\dfrac{1}{2}$. Menurut saya terjadi salah pengetikan soal disini. Ada dua tempat kesalahan yang mungkin. Kesalahan pertama pada penulisan fungsi $f$ seharusnya $f(x)=\dfrac{\sqrt{4-x}}{b+\sqrt{ax+13}}$ atau kesalahan kedua asimtot datarnya seharusnya ditulis $y=-\dfrac{1}{2}$.

Misalkan kesalahan terletak pada fungsi $f$. Ganti $f$ menjadi $f(x)=\dfrac{\sqrt{4-x}}{b+\sqrt{ax+13}}$. Asimtot datarnya adalah $y=\dfrac{1}{2}$ dan asimtot tersebut tercapai untuk $x \to -\infty$ maka
\begin{split}
& \lim_{x \to -\infty} \dfrac{\sqrt{4-x}}{b+\sqrt{ax+13}} = \dfrac{1}{2}\\
\Rightarrow & \lim_{x \to -\infty} \dfrac{b+\sqrt{ax+13}}{\sqrt{4-x}} = 2\\
\Rightarrow & \lim_{x \to -\infty} \dfrac{b}{\sqrt{4-x}}+\dfrac{\sqrt{ax+13}}{\sqrt{4-x}} = 2\\
\Rightarrow & \lim_{x \to -\infty} \dfrac{b}{\sqrt{4-x}}+\sqrt{\dfrac{ax+13}{4-x}} = 2\\
\Rightarrow & \lim_{x \to -\infty} \dfrac{b}{\sqrt{4-x}}+\sqrt{\dfrac{ax+13}{4-x}}\times \dfrac{\frac{1}{\sqrt{x}}}{\frac{1}{\sqrt{x}}} = 2\\
\Rightarrow & \lim_{x \to -\infty} \dfrac{b}{\sqrt{4-x}}+\sqrt{\dfrac{a+\frac{13}{x}}{\frac{4}{x}-1}}= 2\\
\Rightarrow & 0+\sqrt{\dfrac{a+0}{0-1}}= 2\\
\Rightarrow & \sqrt{-a}= 2\\
\Rightarrow & a=-4
\end{split} Karena $\dfrac{a}{x_1}=-4$ dan $a=-4$ maka $x_1=1$. sehingga diperoleh asimtot tegak $x=1$. Asimtot tegak diperoleh jika penyebut $f$ bernilai $0$ untuk $x=1$ yakni
\begin{split}
& b+\sqrt{-4+13}=0\\
\Rightarrow & b=-3
\end{split} Jadi diperoleh $a-b=-4-(-3)=-1$

Misalkan kesalahan penulisan terletak pada penulisan asimtot datar yang seharusnya ditulis $y=-\dfrac{1}{2}$ dan penulisan $f$ sudah benar. Dengan cara yang sama seperti di atas didapatkan nilai yang sama untuk $a$ yaitu $a=-4$ tetapi nilai yang berbeda untuk $b$ yakni
\begin{split}
& b-\sqrt{-4+13}=0\\
\Rightarrow & b=3
\end{split} Jadi diperoleh $a-b=-4-3=-7$

Ada dua jawaban yang mungkin dan keduanya ada di pilihan :)

Soal #13
Misalkan $f(x)=\cot (2\sin x \cos x)$ maka $f'(x)=\ldots$

Penyelesaian
Dengan menggunakan identitas sudut ganda $f(x)$ dapat ditulis menjadi $f(x)=\cot (\sin 2x)$. Misalkan $u=\sin 2x$ maka $\dfrac{du}{dx}=2\cos 2x$. Jadi
\begin{split}
f'(x) & =\dfrac{df}{dx}\\
& = \dfrac{df}{du}\cdot \dfrac{du}{dx}\\
& = -\csc^2 u \cdot 2\cos 2x\\
& = -2\csc^2(\sin 2x) \cos 2x\\
& = -2\csc^2(\sin 2x) (1-2\sin^2 x)
\end{split}
Soal #14
Garis singgung dari $f(x)=\cos x + \dfrac{x^2}{\pi}$ di titik $x=\pi$ memotong sumbu X di titik ...

Penyelesaian
$f'(x)=-\sin x + \dfrac{2x}{\pi}$ dan gradien garis singgung di titik $x=\pi$ adalah $m=f'(\pi)$ yakni $$m=-\sin \pi + \dfrac{2\pi}{\pi}=2$$ Jika absis $x=\pi$ maka ordinat $y=f(\pi)=\cos \pi + \dfrac{\pi^2}{\pi}=-1+\pi$. Dengan absis, ordinat dan gradien didapatkan persamaan garis singgung $$y+1-\pi=2(x-\pi)$$ Titik potong dengan sumbu X diperoleh dengan cara subsitusi $y=0$ ke persamaan garis sehingga diperoleh
\begin{split}
& 0+1-\pi=2(x-\pi)\\
\Rightarrow & 1-\pi=2x-2\pi\\
\Rightarrow & 2x=\pi+1\\
\Rightarrow & x=\dfrac{1}{2}(\pi+1)
\end{split}
Soal #15
Di dalam kotak I terdapat 12 bola putih dan 3 bola merah. Di dalam kotak II terdapat 4 bola putih dan 4 bola merah. Jika dari kotak I dan kotak II masing-masing diambil 2 bola satu per satu dengan pengembalian, maka peluang yang terambil 1 bola merah adalah ...

Penyelesaian
Kemungkinan terambil 1 bola merah yaitu
a) dari kotak I terambil satu merah satu putih dan dari kotak II terambil keduanya putih
b) dari kotak I terambil keduanya putih dan dari kotak II terambil satu merah satu putih

Kasus pertama
dari kotak I terambil satu merah satu putih, peluangnya adalah $2\cdot \dfrac{3}{15}\cdot\dfrac{12}{15}=\dfrac{8}{25}$ (perkalian dengan 2 karena urutan bisa putih dulu kemudian merah atau merah dulu baru putih)
dari kotak II terambil keduanya putih, peluangnya adalah $\dfrac{4}{8}\cdot\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{4}$
sehingga peluang terjadinya kasus pertama adalah $\dfrac{8}{25} \cdot \dfrac{1}{4}= \dfrac{2}{25}$

Kasus kedua
dari kotak I terambil keduanya putih, peluangnya adalah $\dfrac{12}{15}\cdot \dfrac{12}{15}=\dfrac{16}{25}$
dari kotak II terambil satu merah satu putih, peluangnya adalah $2 \dfrac{4}{8}\cdot\dfrac{4}{8}=\dfrac{2}{4}$
sehingga peluang terjadinya kasus kedua adalah $\dfrac{16}{25} \cdot \dfrac{2}{4} = \dfrac{8}{25}$

Jadi peluang yang terambil 1 bola merah adalah $\dfrac{2}{25}+\dfrac{8}{25}=\dfrac{10}{25}=0.4$

Part 1: nomer 1 - 5
Part 2: nomer 6 - 10
Part 3: nomer 11 - 15

Click to comment