Type something and hit enter

author photo
By On
Soal #6
Jika hiperbola $4x^2-8nx+4n^2-9y^2-18y-9=36$ memiliki asimtot yang memotong sumbu Y di titik $\left(0,\dfrac{5}{3}\right)$, maka nilai $n\ldots$

Penyelesaian
\begin{split}
& 4x^2-8nx+4n^2-9y^2-18y-9=36\\
\Rightarrow & 4(x^2-2nx+n^2)-9(y^2+2y+1)=36\\
\Rightarrow & 4(x-n)^2-9(y+1)^2=36
\end{split} Bagi kedua ruas persamaan di atas dengan $36$ akan diperoleh $$\frac{(x-n)^2}{9}-\frac{(y+1)^2}{4}=1$$ Asimtot hiperbola dengan persamaan di atas dapat diperoleh dengan cara mengganti ruas kanan dengan $0$
\begin{split}
& \frac{(x-n)^2}{9}-\frac{(y+1)^2}{4}=0\\
\Rightarrow & \frac{(x-n)^2}{9} = \frac{(y+1)^2}{4}\\
\Rightarrow & \frac{x-n}{3} = \pm \frac{y+1}{2}
\end{split} Asimtot tersebut memotong sumbu Y di $\left(0,\dfrac{5}{3}\right)$ maka berlaku
\begin{split}
& \frac{0-n}{3} = \pm \frac{\frac{5}{3}+1}{2}\\
\Rightarrow & \frac{-n}{3} = \pm \frac{4}{3}\\
\Rightarrow & -n = \pm 4\\
\Rightarrow & n = \pm 4
\end{split} Jadi nilai $n$ yang mungkin adalah $4$ atau $-4$

Soal #7
Jika $x^3+ax^2+x-4$ dibagi oleh $x-1$ dan $x^3-2x+b$ dibagi oleh $x-2$ mempunyai sisa yang sama maka $a-b=\ldots$

Penyelesaian
Misalkan $p(x)=x^3+ax^2+x-4$ dan $q(x)=x^3-2x+b$. Dengan menggunakan Teorema Sisa, jika $p(x)$ dibagi $x-1$ maka sisanya adalah $p(1)$ dan jika $q(x)$ dibagi $x-2$ maka sisanya adalah $q(2)$.

Sisa pembagian tersebut sama berarti $p(1)=q(2)$
\begin{split}
& 1+a+1-4 = 8-4+b\\
\Rightarrow & a-2 = 4+b\\
\Rightarrow & a-b = 6
\end{split}

Soal #8
Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Kode 109 Matematika IPA
Diketahui suatu lingkaran kecil dengan radius $3\sqrt{2}$ melalui pusat suatu lingkaran besar dengan radius 6. Ruas garis yang menghubungkan dua titik potong lingkaran merupakan diameter dari lingkaran kecil, seperti pada gambar. Luas daerah irisan kedua lingkaran adalah ...

Penyelesaian
Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Kode 109 Matematika IPA
Daerah irisan tersebut terdiri dari dua tembereng lingkaran, oleh karena itu akan dihitung satu persatu kemudian jumlahkan hasilnya.

Bagian pertama
Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Kode 109 Matematika IPA
Pada gambar di atas daerah berwarna biru merupakan tembereng lingkaran besar. Luasnya diperoleh dari Luas juring DAE dikurangi luas segitiga DAE.

Karena DE merupakan diameter lingkaran kecil maka sudut DAE adalah sudut siku-siku, sehingga luas juring DAE adalah $\dfrac{90^{\circ}}{360^{\circ}}\pi \cdot 6^2=9 \pi$ dan luas segitiga DAE adalah $\dfrac{DA\cdot EA}{2}=\dfrac{6\cdot 6}{2}=18$. Oleh karena itu luas tembereng di atas (warna biru) adalah $9\pi - 18$.

Bagian kedua
Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Kode 109 Matematika IPA
Daerah berwarna biru di atas merupakan daerah setengah lingkaran yang kecil(karena DE adalah diameter), yang luasnya $\dfrac{1}{2}\pi \cdot (3\sqrt{2})^2 = 9\pi$.

Jadi luas daerah irisan tersebut adalah $9\pi - 18 + 9\pi= 18\pi-18$

Soal #9
Jika $\int_{-4}^4 f(x)(\sin x + 1)\ dx = 8$, dengan $f(x)$ fungsi genap dan $\int_{-2}^4 f(x) dx = 4$, maka $\int_{-2}^0 f(x)\ dx$ adalah ...

Penyelesaian
\begin{split}
& \int_{-4}^4 f(x)(\sin x + 1)\ dx = 8\\
\Rightarrow & \int_{-4}^4 f(x) \sin x\ dx + \int_{-4}^4 f(x)\ dx = 8
\end{split}
$f(x)$ fungsi genap dan $\sin x$ fungsi ganjil maka $f(x) \sin x$ merupakan fungsi ganjil sehingga $\int_{-4}^4 f(x) \sin x\ dx=0$ dan $\int_{-4}^4 f(x)\ dx = 2 \int_{0}^4 f(x)\ dx$. Oleh karena itu
\begin{split}
& \int_{-4}^4 f(x) \sin x\ dx + \int_{-4}^4 f(x)\ dx = 8\\
\Rightarrow & 0 + \int_{-4}^4 f(x)\ dx = 8\\
\Rightarrow & \int_{-4}^4 f(x)\ dx = 8\\
\Rightarrow & 2 \int_{0}^4 f(x)\ dx = 8\\
\Rightarrow & \int_{0}^4 f(x)\ dx = 4\\
\Rightarrow & \int_{0}^4 f(x)\ dx = 4
\end{split}
Dengan demikian
\begin{split}
& \int_{-2}^4 f(x) dx = 4\\
\Rightarrow & \int_{-2}^0 f(x) dx + \int_{0}^4 f(x)\ dx = 4\\
\Rightarrow & \int_{-2}^0 f(x) dx + 4 = 4\\
\Rightarrow & \int_{-2}^0 f(x) dx = 0
\end{split} Referensi: Fungsi Ganjil dan Genap

Soal #10
$\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{(1-\sqrt{\cos x})\cot x}{x}=\ldots$

Penyelesaian
\begin{split}
& \lim_{x \to 0}\dfrac{(1-\sqrt{\cos x})\cot x}{x}\\
= & \lim_{x \to 0}\dfrac{(1-\sqrt{\cos x})\cot x}{x} \times \frac{(1+\sqrt{\cos x})}{(1+\sqrt{\cos x})}\\
= & \lim_{x \to 0}\dfrac{(1-\cos x)\cot x}{x(1+\sqrt{\cos x})}\\
= & \lim_{x \to 0}\dfrac{\left(1-\left(1-2\sin^2 \frac{x}{2}\right)\right)\cot x}{x(1+\sqrt{\cos x})}\\
= & \lim_{x \to 0}\dfrac{2\sin^2 \frac{x}{2}\cot x}{x(1+\sqrt{\cos x})}\\
= & \lim_{x \to 0}\dfrac{2\sin^2 \frac{x}{2}\cos x}{x(1+\sqrt{\cos x})\sin x}\\
= & \lim_{x \to 0}\frac{\sin \frac{x}{2}}{x} \frac{\sin \frac{x}{2}}{\sin x} \frac{2\cos x}{1+\sqrt{\cos x}}\\
= & \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{2}{1+\sqrt{1}}\\
= & \frac{1}{4}
\end{split}

Part 1: nomer 1 - 5
Part 2: nomer 6 - 10
Part 3: nomer 11 - 15

Click to comment