Type something and hit enter

author photo
By On
Soal #1
Jika $m$ dan $n$ memenuhi $\begin{cases} \dfrac{1}{m^2}-\dfrac{2}{n^2}=2\\ \dfrac{3}{m^2}-\dfrac{4}{n^2}=8 \end{cases}$ maka $mn=\ldots$

Penyelesaian
Misalkan $x=\dfrac{1}{m^2}$ dan $y=\dfrac{1}{n^2}$ maka sistem persamaan di atas dapat ditulis menjadi
\begin{split}
x-2y & = 2\\
3x-4y & = 8
\end{split}Dengan menyelesaikan sistem persamaan tersebut diperoleh $x=4 \Rightarrow \dfrac{1}{m^2}=4$ dan $y=1 \Rightarrow \dfrac{1}{n^2}=1$. Jadi
\begin{split}
& \dfrac{1}{m^2} \dfrac{1}{n^2} = 4\\
\Rightarrow & \dfrac{1}{m^2n^2} = 4\\
\Rightarrow & m^2n^2 = \dfrac{1}{4}\\
\Rightarrow & mn = \pm \dfrac{1}{2}
\end{split}
Soal #2
Seorang pelajar berencana untuk menabung di koperasi yang keuntungannya dihitung setiap semester. Apabila jumlah tabungannya menjadi dua kali lipat dalam 5 tahun, maka besar tingkat suku bunga per tahun adalah ...

Penyelesaian
Misalkan tabungan awalnya $= M$, suku bunga yang didapat sebesar $b$, maka setelah 5 tahun (10 semester) tabungannya menjadi $M(1 + b)^{10}$. Tetapi karena setelah 5 tahun tabungannya menjadi dua kali lipat maka diperoleh persamaan
\begin{split}
& M(1+b)^{10}=2M\\
\Rightarrow & (1+b)^{10}=2\\
\Rightarrow & 1+b=\sqrt[10]{2}\\
\Rightarrow & b=\sqrt[10]{2}-1
\end{split}Jadi besar tingkat suku bunga per tahun adalah $2b = 2(\sqrt[10]{2}-1)$

Soal #3
Himpunan penyelesaian dari $\dfrac{x}{|x-2|} \geq 1$ adalah ...

Penyelesaian
Jika $x > 2$ maka
\begin{split}
& \dfrac{x}{|x-2|} \geq 1\\
\Rightarrow & \dfrac{x}{x-2} \geq 1\\
\Rightarrow & \dfrac{x}{x-2} - 1 \geq 0\\
\Rightarrow & \dfrac{x}{x-2} - \dfrac{x-2}{x-2} \geq 0\\
\Rightarrow & \dfrac{2}{x-2} \geq 0\\
\Rightarrow & x > 2
\end{split}Jika $x < 2$ maka \begin{split} & \dfrac{x}{|x-2|} \geq 1\\ \Rightarrow & \dfrac{x}{-x+2} \geq 1\\ \Rightarrow & \dfrac{x}{-x+2} - 1 \geq 0\\ \Rightarrow & \dfrac{x}{x-2} - \dfrac{-x+2}{-x+2} \geq 0\\ \Rightarrow & \dfrac{2x-2}{x-2} \geq 0\\ \Rightarrow & 1 \leq x < 2 \end{split}Jadi himpunan penyelesaiannya adalah $x \geq 1$ dengan $x \neq 2$
Soal #4
Diketahui $a$, $b$ dan $c$ adalah vektor-vektor pada bidang datar sehingga $a$ tegak lurus $b$ dan $c$ tegak lurus $a+b$. Jika $|a|=3$, $|b|=4$, dan $a\cdot c = -24$, maka $|c|=\ldots$

Penyelesaian
Karena ketiga vektor tersebut terletak pada bidang datar, vektor-vektor tersebut dapat dinyatakan dengan vektor 2 dimensi. Karena $|a|=3$, $|b|=4$ dan $a$ tegak lurus $b$ maka dapat dimisalkan $a=\begin{bmatrix}3 \\ 0 \end{bmatrix}$, $b=\begin{bmatrix}0 \\ 4 \end{bmatrix}$ dan $c=\begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix}$

$a\cdot c = -24$ maka $3x+0y=-24 \Rightarrow x=-8$

$a+b=\begin{bmatrix}3 \\ 4 \end{bmatrix}$ dan $c$ tegak lurus $a+b$ maka $c \cdot (a+b)=0$ $$3x+4y=0$$ Substitusikan $x=-8$ ke persamaan di atas diperoleh $y=6$

Jadi diperoleh $c=\begin{bmatrix}-8 \\ 6 \end{bmatrix}$ dan $|c|=\sqrt{(-8)^2+6^2}=10$

Soal #5
Jika $x_1$ dan $x_2$ adalah solusi dari $\sec x - 2 - 15\cos x = 0$ dengan $0 \leq x \leq \pi$, $x\neq \dfrac{\pi}{2}$. Maka $\dfrac{1}{\cos x_1 \cos x_2}=\ldots$

Penyelesaian
Karena $0 \leq x \leq \pi$ dan $x\neq \dfrac{\pi}{2}$ maka $\cos x$ tidak mungkin bernilai 0. Akibatnya kedua ruas persamaan boleh dikali dengan $\cos x$ sehingga diperoleh
\begin{split}
& \sec x - 2 - 15\cos x = 0\\
\Rightarrow & 1-2\cos x -15\cos^2 x = 0
\end{split} Misalkan $\cos x = y$ maka persamaan di atas dapat ditulis kembali menjadi $$-15y^2-2y+1=0$$ Dengan menggunakan rumus hasil kali akar persamaan kuadrat didapatkan $$y_1y_2 = \frac{1}{-15} \Rightarrow \frac{1}{-15}=-15$$ Jadi $$\dfrac{1}{\cos x_1 \cos x_2}=\dfrac{1}{y_1y_2}=-15$$

Part 1: nomer 1 - 5
Part 2: nomer 6 - 10
Part 3: nomer 11 - 15

Click to comment