Type something and hit enter

author photo
By On
Relasi tidak harus dibuat dari dua himpunan yang berbeda seperti yang telah dijelaskan sebelumnya di sini. Suatu relasi R dapat dibuat dari himpunan A ke himpunan A itu sendiri. Relasi dari himpunan A ke himpunan A disebut dengan Relasi pada himpunan A.

Relasi pada himpunan dapat dikelompokkan menjadi beberapa jenis berdasarkan sifat-sifat yang dimilikinya.

1. Reflektif

Suatu relasi R pada himpunan A bersifat reflektif jika untuk setiap x ∈ A berlaku (x,x) ∈ R. Dengan kata lain jika setiap anggota A berelasi dengan dirinya sendiri maka relasi tersebut bersifat reflektif.

Contoh 1: Beberapa relasi pada himpunan B = {1,2,3,4}
  • R1 = {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,4),(4,1),(4,4)}
  • R2 = {(1,1),(1,2),(2,1)}
  • R3 = {(1,1),(1,2),(1,4),(2,1),(2,2),(3,3),(4,1),(4,4)}
  • R4 = {(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3)}
  • R5 = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4),(3,3),(3,4),(4,4)}
  • R6 = {(3,4)}
Yang manakah yang merupakan relasi reflektif?
Solusi: Relasi R3 dan R5 adalah relasi reflektif karena memuat semua bentuk (b,b) dengan b ∈ B yaitu (1,1), (2,2), (3,3) dan (4,4). Sedangkan relasi R1, R2, R4 dan R6 bukanlah relasi reflektif karena tidak memuat semua bentuk (b,b) dengan b anggota B. Secara khusus ke empat relasi tersebut tidak memuat (3,3).

Contoh 2: Apakah relasi "memiliki ibu kandung yang sama dengan" pada himpunan manusia merupakan relasi yang reflektif?
Solusi: Ya, karena setiap manusia x tentu memiliki ibu yang sama dengan dirinya sendiri.

Contoh 3: Apakah relasi "sama dengan" pada himpunan bilangan bulat bersifat reflektif?
Solusi: Ya, karena untuk setiap a bilangan bulat pasti berlaku a=a.

Contoh 4: Misalkan relasi R pada himpunan bilangan asli dengan R = {(a,b)|a=b+1}. Apakah relasi tersebut bersifat reflektif?
Solusi: Tidak, karena a tidak mungkin sama dengan a+1, yang berakibat (a,a) tidak berada pada R.

2. Simetris

Suatu relasi R pada himpunan A bersifat simetris jika (a,b) ∈ R maka (b,a) ∈ R untuk setiap a,b ∈ A. Dengan kata lain, jika a berelasi dengan b maka haruslah b juga berelasi dengan a.

Contoh 5: Dengan relasi yang ada pada contoh 1, manakah yang bersifat simetri dan manakah yang tidak bersifat simetris?
Solusi:
Relasi R2 bersifat simetris karena
  • (1,1) ∈ R2 maka (1,1) ∈ R2
  • (1,2) ∈ R2 maka (2,1) ∈ R2 dan benar bahwa (2,1) ∈ R2
  • (2,1) ∈ R2 maka (1,2) ∈ R2 dan benar bahwa (1,2) ∈ R2
Relasi R3 juga bersifat simetris karena (1,2) dan (2,1) ada di R3 dan (4,1) dan (1,4) juga ada di R3.

Untuk mengecek suatu relasi R tidak bersifat simetris adalah dengan cara mencari (a,b) ∈ R tetapi (a,b) ∉ R. (2,1) ∈ R4 tetapi (1,2) ∉ R4, akibatnya R4 tidak bersifat simetris.

Contoh 6: Apakah relasi "bersaudara kandung dengan" pada himpunan manusia merupakan relasi simetris?
Solusi: Ya, karena jika x bersaudara kandung dengan y maka pastilah y juga bersaudara kandung dengan x.

Contoh 7: Apakah relasi "<" pada himpunan bilangan bulat bersifat simetris?
Solusi: Jika x kurang dari y maka y tidak mungkin kurang dari x. Dengan demikian relasi "<" tidak bersifat simetris.

3. Antisimetris

Suatu relasi R pada himpunan A bersifat antisimetris jika untuk setiap (a,b) ∈ R dan (b,a) ∈ R maka a=b. Dengan kata lain, jika a tidak sama dengan b maka haruslah (a,b) ∉ R atau (b,a) ∉ R. Suatu relasi yang bersifat antisimetris tidak harus tidak simetris karena antisimetris dan simetris bukanlah istilah yang berlawanan. Setiap relasi bisa sekaligus bersifat simetris dan antisimetris atau tidak keduanya.

Contoh 8: Manakah relasi yang bersifat antisimetris pada relasi yang ada di contoh 1?
Solusi: R4, R5 dan R6 karena untuk setiap a ≠ b tidak ada di antara relasi tersebut yang memuat sekaligus (a,b) dan (b,a).

Contoh 9: Apakah relasi "≤" pada himpunan bilangan bulat adalah relasi antisimetris?
Solusi: Jika a ≤ b dan b ≤ a maka pasti a = b. Ini berarti relasi "≤" bersifat antisimetris.

Contoh 10: Apakah relasi ">" pada himpunan bilangan bulat adalah relasi antisimetris?
Solusi: Dua bilangan a dan b dengan a ≠ b tidak mungkin memenuhi a > b dan sekaligus memenuhi b > a. Dengan demikian relasi ">" bersifat antisimetris.

Contoh 11: Apakah relasi R={(a,b)|a+b≤3} pada himpunan bilangan bulat merupakan relasi antisimetris?
Solusi: Jelas bahwa 1 ≠ 2 dan 1+2 ≤ 3 dan 2+1 ≤ 3, akibatnya (1,2) ∈ R dan (2,1) ∈ R. Dengan demikian relasi R tidak bersifat antisimetris.

4. Transitif

Suatu relasi R pada himpunan A bersifat transitif jika (a,b) ∈ R dan (b,c) ∈ R maka (a,c) ∈ R untuk setiap a,b,c ∈ A. Dengan kata lain, jika a berelasi dengan b dan b berelasi dengan c maka haruslah a juga berelasi dengan c.

Contoh 12: Apakah R4 pada contoh 1 merupan relasi transitif?
Solusi: R4 merupakan relasi transitif karena
  • (3,2) dan (2,1) ∈ R4, dan terdapat (2,1) ∈ R4
  • (4,2) dan (2,1) ∈ R4, dan terdapat (4,1) ∈ R4
  • (4,3) dan (3,2) ∈ R4, dan terdapat (4,2) ∈ R4

Contoh 13: Apakah R1 pada contoh 1 merupan relasi transitif?
Solusi: R1 tidak bersifat transitif karena (3,4) dan (4,1) ∈ R1, tetapi (3,1) ∉ R1

4. Ekuivalen

Suatu relasi R pada himpunan A bersifat equivalen jika relasi tersebut bersifat refleksif, simetris dan transitif

Untuk mengetahui suatu relasi bersifat equivalen tinggal menunjukkan bahwa relasi tersebut bersifat refleksif, simetris dan sekaligus transitif.

Click to comment