Type something and hit enter

author photo
By On
Ketika berbicara tentang fungsi, pemahaman akan "tiga" konsep himpunan sangat penting. Ketiga konsep itu adalah Domain fungsi atau Daerah Asal fungsi, Kodomain fungsi atau Daerah Kawan dan Range fungsi atau Daerah Hasil fungsi.

Jika $f$ adalah fungsi dari himpunan $A$ ke himpunan $B$ atau yang biasa dinotasikan dengan $f:A \rightarrow B$. $A$ disebut Domain $f$ dan $B$ disebut dengan Kodomain $f$. Jika $f(a)=b$, $b$ disebut dengan peta dari $a$ dan $a$ disebut dengan prapeta dari $b$. Himpunan semua peta dari $A$ oleh $f$ disebut dengan Range $f$

Contoh 1:
Sifat Fungsi
Ilustrasi di atas merupakan fungsi dari A ke B. Domain $f$ adalah $A=\{a,b,c,d\}$, sedangkan Kodomain $f$ adalah $B=\{1,2,3,4\}$ dan Range $f$ adalah $\{1,2,3\}$

Jika diberikan suatu rumus fungsi $f(x)$ tanpa diketahui domainnya, kita dapat menentukan domainnya sendiri dengan syarat domain tersebut adalah himpunan semua nilai $x$ sedemikian sehingga $f(x)$ dapat dihitung nilainya.

Contoh 2: Diberikan rumus fungsi $f$ dan $g$ bernilai real (kodomain dari $f$ dan $g$ adalah himpunan bilangan real) $$f(x)=x^2-1$$ $$g(x)=x-5$$ Pada fungsi $f$ dan $g$ diatas, kita dapat mensubstitusikan $x$ dengan sembarang bilangan real dan nilai $f(x)$ dan $g(x)$ berada pada himpunan bilangan real. Dengan demikian Domain dari $f$ dan $g$ adalah himpunan bilangan Real.

Contoh 3: Diberikan rumus fungsi $h$, $k$ dan $m$ yang bernilai real $$h(x)=\frac{1}{x}$$ $$k(x)=\sqrt{x-1}$$ $$m(x)=\log(x)$$ Pada fungsi $h$, kita tidak dapat mensubstitusikan $x=0$ karena nilai dari $h(0)=\frac{1}{0}$ tidaklah terdefinisi. Dengan demikian Domain dari $h$ adalah $\{x|x \neq 0, x \in \mathbb{R}\}$

Pada fungsi $k$, tidak semua $x$ bilangan real dapat disubstitusikan padanya, misalnya jika disubstitusikan $x=0$ akan diperoleh $k(0)=\sqrt{0-1}=\sqrt{-1}$ yang tidak ada pada himpunan bilangan real. $k(x)$ akan bernilai real jika bilangan di bawah tanda akarnya adalah bilangan non negatif yakni $x-1 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 1$. Dengan demikian Domain dari $k$ adalah $\{x|x \geq 1, x \in \mathbb{R}\}$.

Sebarang $x$ bilangan real juga tidak bisa disubstitusikan ke rumus fungsi $m(x)$ seperti $x=-1$ karena nilai $m(-1)=\log(-1)$ bukanlah bilangan real. Agar $m(x)$ bernilai real maka nilai $x > 0$. Dengan demikian Domain dari $m$ adalah $\{x|x > 0, x \in \mathbb{R}\}$

Sifat-sifat Fungsi

Berkaitan dengan Domain, Kodomain dan Range suatu fungsi dapat dikelompokkan menjadi beberapa jenis yakni fungsi injektif atau fungsi into, fungsi surjektif atau fungsi onto dan fungsi bijektif.

Fungsi Injektif

Suatu fungsi $f:A \rightarrow B$ disebut fungsi Injektif jika untuk setiap $x,y \in A$ dengan $x \neq y$ berlaku $f(x) \neq f(y)$.

Definisi fungsi injektif juga dapat dinyatakan dengan kontraposisinya, yaitu $f$ injektif jika $f(x)=f(y)$ berakibat $x=y$. Fungsi Injektif disebut juga fungsi into atau fungsi satu-satu.

Suatu fungsi injektif jika diberikan dua "input" yang berbeda akan menghasilkan "output" yang berbeda juga. Jika diberikan dua "input" yang sama namun menghasilkan output yang berbeda maka fungsi tersebut bukanlah fungsi injektif.

Contoh 4: Diberikan $f=\{(1,a),(2,b),(3,c),(4,c),(5,d)\}$, apakah $f$ injektif?
Solusi: Perhatikan $(3,c) \in f$ dan $(4,c) \in f$, ini berarti $f(3)=c$ dan $f(4)=c$. Dengan demikian fungsi $f$ tersebut bukanlah fungsi injektif.

Contoh 5: Jika $g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ dan $g(x)=3x-1$, buktikan $g$ adalah fungsi injektif!
Solusi: Akan ditunjukkan jika $g(x)=g(y)$ maka $x=y$
\begin{split}
& g(x)=g(y)\\
\Leftrightarrow & 3x-1=3y-1\\
\Leftrightarrow & 3x=3y\\
\Leftrightarrow & x=y
\end{split} Dengan demikian terbukti bahwa $g$ adalah fungsi injektif

Contoh 6: Jika $h:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ dan $h(x)=x^2$. Apakah $h$ injektif?
Solusi: Karena $h(2)=4$ dan $h(-2)=4$, ini berarti $h$ menerima input yang berbeda tapi menghasilkan output yang sama. Jadi $h$ bukanlah fungsi injektif.

Contoh 7: Jika $k:A \rightarrow \mathbb{R}$ dengan $A$ adalah himpunan bilangan real positif dan $k(x)=x^2$. Apakah $k$ injektif?
Solusi: Dengan terbatasnya domain $k$ hanya pada bilangan real positif akan membuat $k$ menjadi injektif. $k(x)=k(y) \Leftrightarrow x^2=y^2$. Karena $x,y \in A$ maka $x$ dan $y$ adalah bilangan positif dan satu-satunya akibat dari $x^2=y^2$ adalah $x=y$. Tidak mungkin didapatkan dua nilai $x$ dan $y$ yang berbeda seperti pada contoh 6.

Fungsi Surjektif

Suatu fungsi $f:A \rightarrow B$ disebut fungsi Surjektif jika untuk setiap $b \in B$ ada $a \in A$ sedemikian sehingga $f(a)=b$.

Dari definisi di atas dapat diketahui bahwa semua anggota $B$ memiliki prapeta di $A$. Diketahui juga bahwa himpunan semua anggota $B$ yang memiliki prapeta di $A$ disebut dengan Range $f$, ini berarti Range $f$ = Kodomain $f$. Fungsi surjektif juga disebut dengan fungsi onto atau fungsi pada

Contoh 7: Jika $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ dan $f(x)=2x-1$. Apakah $f$ Surjektif?
Solusi: Misalkan $y \in \mathbb{R}$ pasti akan ada $x \in R$ sedemikian sehingga $$f(x)=y$$ Bilangan $x$ ini diperoleh dengan cara
\begin{split}
& f(x)=y\\
\Leftrightarrow & 2x-1=y\\
\Leftrightarrow & 2x=y+1\\
\Leftrightarrow & x=\frac{y+1}{2}
\end{split} Jadi $f$ adalah fungsi surjektif.

Contoh 8: Jika $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ dan $f(x)=x^2$. Apakah $f$ Surjektif?
Solusi: Jika dipilih $-1$ yang ada di kodomain $f$, kita tidak akan menemukan $x$ di domain $f$ sedemikian sehingga $$f(x)=x^2=-1$$ Jadi $f$ tidak surjektif.

Fungsi Bijektif

Suatu fungsi $f:A \rightarrow B$ disebut fungsi Bijektif jika $f$ adalah fungsi injektif dan surjektif

Contoh 8:
Sifat Fungsi

Click to comment