Type something and hit enter

author photo
By On
Cara lain untuk mengkombinasikan dua fungsi selain penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian adalah komposisi. Komposisi dari dua fungsi membuat output dari sebuah fungsi menjadi input fungsi yang lain. Misalkan $f:A \to B$ dan $g:B \to C$, kita bisa membuat sebuah fungsi tunggal dari $A$ ke $C$ menggunakan konsep komposisi.

Analoginya, mesin f dapat mengubah benang menjadi kain dan ada mesin g yang dapat mengubah kain menjadi baju, kita dapat mengkomposisikan kedua mesin tersebut agar jika diberikan input benang akan memberikan output baju. Misalkan mesin f tersebut tidak bisa memproses semua benang dan mesin g tidak bisa memproses semua jenis kain, jenis-jenis benang dan jenis-jenis baju yang dapat diproses oleh mesin f dan g merupakan analogi dari domain f dan g.

Bayangkan jika mesin f dapat menghasilkan benang jenis x, y dan z namun mesin g hanya bisa mengolah benang jenis u,v atau w tentu kedua jenis mesin tidak dapat dikomposisikan. Agar kedua mesin bisa dikomposisikan tentu output mesin f harus bisa diproses oleh mesin g. Walaupun tidak semua output mesin f bisa diproses oleh mesin g, tetapi memenuhi persyaratan agar bisa dikomposisikan.

Dengan analogi-analogi di atas dapat membantu kita untuk memahami definisi dari komposisi fungsi
Misalkan $f:A \to B$ dan $g:C \to D$ dengan $R_f \cap D_g \neq \{\}$ didefinisikan $g$ komposisi $f$ sebagai $$(g \circ f)(x) = g(f(x))$$
$(g \circ f)$ dibaca $g$ komposisi $f$ atau $g$ bundaran $f$ dan bukan dibaca $gof$.

notasi $R_f$ dan $D_g$ di atas merupakaan notasi untuk Range $f$ dan Domain $g$ secara berturut-turut. Pada definisi di atas diketahui irisan antara kedua himpunan tersebut tidak boleh kosong. Jika irisannya adalah himpunan kosong kita tidak bisa membentuk komposisi $g \circ f$, analogi dengan output mesin pengoleh benang dan input mesin pengolah baju.

Contoh 1: Jika $f=\{(1,1),(2,3),(3,5),(4,7),(5,9)\}$ dan $g=\{(1,3),(2,4),(3,5),(4,6),(5,7)\}$. Tentukan $g \circ f$.
Solusi: Range dari $f$ adalah $R_f=\{1,3,5,7,9\}$ dan Domain dari $g$ adalah $D_g=\{1,2,3,4,5\}$. Jadi $R_f \cap D_g$ bukanlah himpunan kosong dan $R_f \cap D_g = \{1,3,5\}$, oleh sebab itu dapat dibentuk $(g \circ f)(x)$.
$(g \circ f)(1) = g(f(1))=g(1)=3$
$(g \circ f)(2) = g(f(2))=g(3)=5$
$(g \circ f)(3) = g(f(3))=g(5)=7$
$(g \circ f)(4) = g(f(4))=g(7)=$ tidak terdefinisi
$(g \circ f)(5) = g(f(5))=g(9)=$ tidak terdefinisi
Dengan demikian dapat dibentuk $f \circ g$ yaitu $$(f \circ g)=\{(1,3),(2,5),(3,7)\}$$
Contoh 2: Diberikan fungsi f dan g dibawah ini, apakah bisa dibentuk $g \circ f$?
Komposisi Fungsi
Solusi: komposisi fungsi $g \circ f$ tidak bisa dibentuk karena Range f dan Domain g tidak beririsan.

Contoh 2: Jika f dan g seperti pada contoh 2 di atas, apakah bisa dbentuk $f \circ g$?
Solusi: Berdasarkan ilustrasi fungsi f dan g diketahui Range g dan Domain f memiliki irisan yaitu {1,2,3}.
Komposisi Fungsi
Dengan demikian kita dapat membentuk komposisi $f \circ g$
Komposisi Fungsi

Contoh 3: Diberikan fungsi $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ dan $g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ dengan $f(x)=2x-1$ dan $g(x)=x^2+3$. Tentukan $(f \circ g)(x)$, $(g \circ f)(x)$, $(f \circ f)(x)$ dan $(g \circ g)(x)$.
Solusi:
$(f \circ g)(x)=f(g(x))=2g(x)-1=2(x^2+3)-1=2x^2+5$
$(g \circ f)(x)=g(f(x))=(f(x))^2+3=(2x-1)^2+3=4x^2-4x+4$
$(f \circ f)(x)=f(f(x))=2f(x)-1=2(2x-1)-1=4x-3$
$(g \circ g)(x)=g(g(x))=(g(x))^2+3=(x^2+3)^2+3=x^4+6x+12$

Jika $I$ adalah fungsi identitas($I(x)=x$) serta $f$, $g$ dan $h$ adalah fungsi maka berlaku
  • Komposisi dua fungsi tidak selalu komutatif. $$(f \circ g)(x) \neq (g \circ f)(x)$$
  • $(I \circ f)(x)=(f \circ I)(x)=f(x)$
  • Komposisi fungsi bersifat asosiatif $$(f\circ (g \circ h))(x) = ((f\circ g) \circ h)(x)$$

Komposisi dua fungsi tidak selalu komutatif berarti jika dua fungsi komposisikan bisa saja bersifat komutatif, bisa juga tidak. Jika $f$ dikomposisikan dengan fungsi identitas maka komposisi tersebut bersifat komutatif. Contoh yang lain $f(x)=2x$ dan $g(x)=x+1$, $(f\circ g)(x)=f(g(x))=2x+2$ sedangkan $(g\circ f)(x)=g(f(x))=2x+1$.

Komposisi fungsi bersifat asosiatif dibuktikan berikut ini
\begin{split}
(f\circ (g \circ h))(x) & = f((g \circ h)(x))\\
& = f(g(h(x)))\text{ ...i}
\end{split} \begin{split}
((f\circ g) \circ h)(x) & = (f \circ g)((h)(x))\\
& = f(g(h(x)))\text{ ...ii}
\end{split}
Dari persamaan i dan ii terbukti bahwa $(f\circ (g \circ h))(x) = ((f\circ g) \circ h)(x)$

1 komentar:

avatar

Hallo, Kami dari situs online terpercaya lagiqq.Mari Gabung bersama kami di agen poker uang asli dan ajak teman-teman kamu untuk bermain bersama di Lagiqq Agen Dominoqq Dan judi Poker Online Uang Asli indonesia terpercaya.
Ayo Bergabung Di Lagiqq Menangkan jackpot poker & domino yang sudah mencapai ratusan juta rupiah.
PROMO DAHSYAT LAGIQQ :
* BONUS TURNOVER 0.5%
* BONUS REFERRAL 20% SEUMUR HIDUP
Tersedia Games : Poker, Bandar Poker, BandarQ, Domino99, AduQ, Capsa Susun dan Sakong.
Kelebihan LAGIQQ :
- Proses Deposit dan Withdraw Hanya 3 Menit
- Min. Deposit 20.000, Min. Withdraw 20.000
- Layanan Live Chat 24 Jam Non-stop
- Dapat dimainkan di android, iphone, dan ipad
- Agen Poker paling FAIR, NO ROBOT (member vs member)
- Tersedia ratusan meja untuk anda pilih
- Cukup 1 User ID untuk 7 Games
JOIN???... Klik Disini >>>
https://goo.gl/1m3Y0T
Info Lebih Lanjut Hub:
LIVECHAT : WWW.LAGIQQ.COM
CALL CENTER : +855963458413
BBM : 3343686E
FACEBOOK : Lagiqq@gmail.com
WECHAT : Lagiqq

Click to comment