Type something and hit enter

author photo
By On
Misalkan $f=\{(a,1),(b,2),(c,3)\}$ maka $f^{-1}=\{(1,a),(2,b),(3,c)\}$. Jika $f$ dikomposisikan dengan $f^{-1}$ akan diperoleh
$(f^{-1} \circ f)(a) = f^{-1}(f(a)) = f^{-1}(1) = a$
$(f^{-1} \circ f)(b) = f^{-1}(f(b)) = f^{-1}(2) = b$
$(f^{-1} \circ f)(c) = f^{-1}(f(c)) = f^{-1}(3) = c$
dan $(f^{-1} \circ f)=\{(a,a),(b,b),(c,c)\}$

begitupun sebaliknya
$(f \circ f^{-1})(1) = f(f^{-1}(1)) = f(a) = 1$
$(f \circ f^{-1})(2) = f(f^{-1}(2)) = f(b) = 2$
$(f \circ f^{-1})(3) = f(f^{-1}(3)) = f(c) = 3$
dan $(f \circ f^{-1})=\{(1,1),(2,2),(3,3)\}$

Secara umum jika fungsi $f$ dikomposisikan dengan $f^{-1}$ akan diperoleh fungsi identitas. Fungsi identitas adalah fungsi yang memetakan $x$ ke $x$ atau $x \mapsto x$

Jika $f$ bijektif maka $$(f \circ f^{-1})(x) = (f^{-1}\circ f)(x) = x$$

Contoh 1: Buktikan jika $f(x) = 3x+2$ maka $f^{-1}(x)=\frac{x-2}{3}$
Solusi: Akan ditunjukkan $(f \circ f^{-1})(x) = (f^{-1}\circ f)(x) = x$
\begin{split}
(f \circ f^{-1})(x) = & f(f^{-1}(x))\\
= & 3f^{-1}(x)+2\\
= & 3\left(\frac{x-2}{3}\right)+2\\
= & \left(x-2\right)+2\\
= & x
\end{split} \begin{split}
(f^{-1}\circ f)(x) = & f^{-1}(f(x))\\
= & \frac{f(x)-2}{3}\\
= & \frac{(3x+2)-2}{3}\\
= & \frac{3x}{3}\\
= & x
\end{split}
Dengan bantuan di atas akan dibuktikan invers dari komposisi $f$ dengan $g$ adalah komposisi dari invers $g$ dengan invers $f$.

$$(f\circ g)^{-1}(x) = (g^{-1} \circ f^{-1})(x)$$

Telah diketahui bahwa $((f\circ g)^{-1} \circ (f\circ g))(x)=x$, akan dibuktikan bahwa $(g^{-1} \circ f^{-1})(x)$ dikomposisikan dengan $(f\circ g)(x)$ akan menghasilkan fungsi identitas.
\begin{split}
& ((g^{-1} \circ f^{-1})\circ (f\circ g))(x)\\
= & (g^{-1} \circ f^{-1} \circ f \circ g)(x)\\
= & (g^{-1} \circ (f^{-1} \circ f) \circ g)(x)\\
= & (g^{-1} \circ I \circ g)(x)\\
= & (g^{-1} \circ g)(x)\\
= & x
\end{split} \begin{split}
& ((f\circ g)\circ (g^{-1} \circ f^{-1}))(x)\\
= & (f\circ g \circ g^{-1} \circ f^{-1})(x)\\
= & (f\circ (g \circ g^{-1}) \circ f^{-1})(x)\\
= & (f\circ I \circ f^{-1})(x)\\
= & (f\circ f^{-1})(x)\\
= & x
\end{split}
Karena $(f\circ g)^{-1}(x)$ dikomposisikan dengan $(f\circ g)(x)$ menghasilkan fungsi identitas dan $(g^{-1} \circ f^{-1})(x)$ dikomposisikan dengan $(f\circ g)(x)$ juga menghasilkan fungsi identitas serta sebuah fungsi tidak mungkin memiliki dua fungsi invers yang berbeda maka pasti $(f\circ g)^{-1}(x)$ akan sama dengan $(g^{-1} \circ f^{-1})(x)$.

Click to comment