Type something and hit enter

author photo
By On
Di kehidupan sehari-hari, kita sering perlu untuk menghitung banyaknya "kejadian" seperti mengurutkan objek dengan aturan tertentu, memilih beberapa objek dari semua objek yang ada, dan lain sebagainya. Untuk melakukan perhitungan-perhitungan tersebut kita bisa menggunakan dua aturan paling dasar yaitu aturan penjumlahan dan aturan perkalian.

Aturan Penjumlahan
Misalkan kejadian $K_1$, $K_2$, $K_3$, ..., $K_p$ tidak dapat terjadi dalam waktu yang sama dan
$K_1$ dapat terjadi dengan $m_1$ cara
$K_2$ dapat terjadi dengan $m_2$ cara
$K_3$ dapat terjadi dengan $m_3$ cara
.
.
.
$K_p$ dapat terjadi dengan $m_p$ cara
Maka banyak cara agar paling tidak salah satu cara dari kejadian $K_1$, $K_2$, $K_3$, ..., $K_p$ terjadi adalah $$m_1+m_2+m_3+\cdots +m_n$$

Contoh 1: Kota B dapat dicapai dari Kota A melalui 3 macam jalur. Ada jalur darat, jalur laut dan jalur udara. Untuk jalur darat terdapat 4 rute yang bisa dilalui, untuk jalur laut ada 2 rute yang bisa dilalui, sedangkan untuk jalur udara hanya ada 1 rute yang bisa dilalui. Ada berapa banyak cara (banyak rute) seseorang bepergian dari kota A menuju kota B?
aturan penjumlahan
Penyelesaian: Permasalahan ini bisa diselesaikan dengan menggunakan aturan penjumlahan karena untuk melakukan sekali perjalanan dari kota A ke kota B tidak mungkin dilakukan melalui dua rute atau lebih dalam waktu yang sama. Dengan demikian banyak cara bepergian dari kota A menuju kota B adalah $4 + 3 + 1 = 8$ cara.

Aturan Perkalian
Misalkan kejadian $K$ dapat diuraikan menjadi kejadian-kejadian $K_1$, $K_2$, $K_3$, ..., $K_p$ dengan
$K_1$ dapat terjadi dengan $m_1$ cara
$K_2$ dapat terjadi dengan $m_2$ cara
$K_3$ dapat terjadi dengan $m_3$ cara
.
.
.
$K_p$ dapat terjadi dengan $m_p$ cara
Maka banyak cara agar semua kejadian $K_1$, $K_2$, $K_3$, ..., $K_p$ terjadi adalah $$m_1 \times m_2 \times m_3 \times \cdots \times m_p$$

Contoh 2: Untuk menuju kota A ke kota D harus melalui kota B dan C. Dari kota A menuju B terdapat 2 cara, dari kota B menuju C terdapat 4 cara, dan dari kota C ke kota D terdapat 3 cara. Berapa banyak cara bepergian dari kota A menuju kota D?
aturan perkalian
Penyelesaian: Agar sampai di kota D, kota B dan C harus dilalui. Ini berarti permasalahan di atas adalah permasalahan yang dapat diselesaikan menggunakan aturan perkalian. Jadi banyak cara bepergian dari kota A ke kota D adalah $2\times 4 \times 3 = 24$ cara.

Notasi Faktorial
$n$ faktorial dengan $n$ bilangan asli yang dilambangkan denga $n!$ menyatakan perkalian semua bilangan asli yang kurang dari atau sama dengan $n$ $$n! = n\times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 2 \times 1$$

Berdasarkan definisi dari notasi faktorial dapat diturunkan sifat yang sering digunakan untuk menyelesaikan permasalahan yaitu
  • $n! = n\times (n-1)!$
  • $0!=1$
Catatan: notasi faktorial di ruas kanan persamaan di atas hanya ditujukan untuk $n-1$.

Bukti:
$n!$ dapat dinyatakan dengan $$n \times \color{Blue}{(n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 2 \times 1}$$ Sedangkan bentuk perkalian $$\color{Blue}{(n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 2 \times 1}$$ dapat dinyatakan sebagai $(n-1)!$. Dengan demikian terbukti bahwa $n! = n\times (n-1)!$

Substitusikan $n=1$ ke persamaan $n!=n\times (n-1)!$ maka
\begin{split}
& n!=n\times (n-1)!\\
\Rightarrow & 1! = 1\times (1-1)!\\
\Rightarrow & 1 = 1\times 0!\\
\Rightarrow & 0! = 1
\end{split}
Contoh 3: Tentukan nilai $\dfrac{10!}{9!+8!}$
Penyelesaian:
\begin{split}
\dfrac{10!}{9!+8!} & = \dfrac{10 \times 9! }{9!+8!}\\
& = \dfrac{10 \times 9 \times 8!}{9 \times 8!+8!}\\
& = \dfrac{90 \times \color{Red}{8!} }{(9+1) \times \color{Red}{8!}}\\
& = \dfrac{90}{10}\\
& = 9
\end{split}
Permutasi
Misalkan $A=\{a_1,a_2,a_3,\ldots ,a_n\}$ adalah himpunan $n$ objek yang berbeda. Untuk $0 \leq r \leq n$, sebuah permutasi $r$ objek dari $A$ adalah cara menyusun sembarang $r$ objek dari objek-objek yang ada di $A$. Jika $r=n$, maka permutasi $n$ objek dari $A$ cukup ditulis menjadi permutasi $A$

Contoh 4: Misalkan B = {p,q,r,s}, tentukan permutasi 3 dari B.
Penyelesaian: permutasi 3 dari B adalah
pqr, prq, qpr, qrp, rpq, rqp,
pqs, psq, qps, qsp, spq, sqp,
prs, psr, rps, rsp, spr, srp,
qrs, qsr, rqs, rsq, sqr, srq.
Banyak semua permutasi 3 dari B adalah 24.

Misalkan $_n\mathrm{P}_r$ menyatakan banyak permutasi $r$ objek dari himpunan beranggota $n$ objek maka $_4\mathrm{P}_3=24$. Selanjutnya menggunakan aturan perkalian dapat kita turunkan rumus untuk $_n\mathrm{P}_r$.

Misalkan $A$ adalah himpunan dengan anggota sebanyak $n$ objek. Permutasi $r$ objek dari $A$ dapat dibentuk dengan $r$ langkah. Perhatikan diagram berikut
permutasi
Pilih salah satu objek dari $A$ kemudian taruh di posisi ke-1 (lihat gambar di atas). Banyak pilihan objek untuk posisi ke-1 adalah $n$ objek. Selanjutnya pilih satu objek dari objek-objek yang tersisa dan taruh di posisi ke-2. Banyak pilihan objek untuk posisi ke-2 adalah $(n-1)$ objek. Proses tersebut dilakukan sampai posisi ke-$r$ dengan banyak pilihan sebanyak $(n-r+1)$ objek.
permutasi
Karena semua kejadian untuk setiap posisi harus terjadi maka kita bisa menghitung banyak permutasi $r$ objek dari $n$ objek menggunakan aturan perkalian
$$_n\mathrm{P}_r = n \times (n-1) \times \cdots \times (n-r+1)$$
Persamaan di atas dapat ditulis kembali menjadi
$$_n\mathrm{P}_r = \dfrac{n \times (n-1) \times \cdots \times (n-r+1) \times \color{Red}{(n-r) \times \cdots \times 2 \times 1}}{\color{Red}{(n-r) \times \cdots \times 2 \times 1}}$$
Dengan notasi faktorial persamaan di atas dapat disederhanakan menjadi $$_n\mathrm{P}_r = \dfrac{n!}{(n-r)!}$$
Banyak cara menyusun $r$ objek dari $n$ objek yang berbeda dengan $0\leq r \leq n$ adalah $$_n\mathrm{P}_r = \dfrac{n!}{(n-r)!}$$

Contoh 4: Tentukan banyak cara memilih pengurus kelas yang terdiri atas ketua, wakil ketua, sekretaris dan bendahara kelas jika terdapat 20 siswa.
Penyelesaian: Masalah di atas adalah masalah permutasi 4 dari 20 objek. Jadi banyak cara memilih pengurus kelas adalah
\begin{split}
_{20}\mathrm{P}_4 & = \dfrac{20!}{(20-4)!}\\
& = \dfrac{20\times 19 \times 18 \times 17 \times 26!}{16!}\\
& = 20\times 19 \times 18 \times 17\\
& = 116280
\end{split}
Selain $_n\mathrm{P}_r$, permutasi $r$ dari $n$ objek juga sering dinyatakan dengan
$$_n\mathrm{P}_r = {}^n\!\mathrm{P}_r = \mathrm{P}^n_r = \mathrm{P}(n,r)$$

Permutasi unsur yang sama
Banya cara menyusun $n$ objek berbeda adalah $_n\mathrm{P}_n=\dfrac{n!}{(n-n)!}=\dfrac{n!}{0!}=n!$. Bagaimana jika terdapat objek yang sama, berapa banyak cara menyusunnya?

Contoh 5: Terdapat 10 kartu yang masing-masing bertuliskan sebuah huruf, kesepuluh kartu tersebut masing-masing tertulis huruf M,A,T,E,M,A,T,I,K,A. Berapa banyak cara menyusun kesepuluh kartu tersebut?
Penyelesaian: Terdapat 2 kartu bertuliskan huruf M, 3 kartu bertuliskan huruf A, 2 kartu bertuliskan huruf T. Setiap kartu yang hurufnya sama diberikan nomor yang berbeda-beda seperti M1, M2, A1, A2, A3, T1 dan T2. Dengan diberinya nomor pada beberapa kartu, terlihat bahwa kartu-kartu tersebut sekarang adalah 10 objek yang berbeda yaitu M1,A1,T1,E,M2,A2,T2,I,K,A3.

Banyak cara menyusun kembali semua kartu tersebut adalah permutasi 10 = $10!$. Di antara $10!$ tersebut ada susunan yang sama, dua diantaranya adalah

M1,A1,T1,E,M2,A2,T2,I,K,A3
M2,A1,T1,E,M1,A2,T2,I,K,A3

Kedua susunan tersebut sama karena sama-sama menghasilkan kata MATEMATIKA. Banyaknya cara menyusun urutan huruf M1 dan M2 adalah permutasi 2 yaitu $2!$. Dari total 10! susunan yang mungkin dapat kita pasangkan dua-dua yang menghasilkan kata-kata yang sama. Jadi sekarang terdapat $\dfrac{10!}{2!}$ kemungkinan kata-kata yang berbeda yang dapat disusun.

Selain huruf M yang sama, ada 3 huruf A yang sama, yaitu A1,A2 dan A3. berikut adalah urutan yang berbeda namun masih menghasilkan kata yang sama MATEMATIKA

M1,A1,T1,E,M2,A2,T2,I,K,A3
M1,A1,T1,E,M2,A3,T2,I,K,A2
M1,A2,T1,E,M2,A1,T2,I,K,A3
M1,A2,T1,E,M2,A3,T2,I,K,A1
M1,A3,T1,E,M2,A1,T2,I,K,A2
M1,A3,T1,E,M2,A2,T2,I,K,A1

banyak cara menyusun huruf A1, A2 dan A3 adalah $3!=6$. Dari $\dfrac{10!}{2!}$ susunan yang mungkin bisa dipasangkan enam-enam yang menghasilkan kata yang sama. Jadi sekarang tinggal tersisa $\dfrac{\frac{10!}{2!}}{3!}=\dfrac{10!}{2!\times 3!}$ kemungkinan kata-kata yang berbeda yang dapat disusun.

Masih ada satu huruf lagi yang sama yaitu huruf T. Dengan cara yang sama seperti langkah pertama di atas, banyak cara menyusun T1 dan T2 adalah permutasi 2 yaitu $2!$ cara. Dipasangkan dua-dua berdasarkan posisi huruf T yang sama. Jadi banyak cara untuk menyusun semua kartu tersebut adalah $\dfrac{\frac{10!}{2!\times 3!}}{2!} = \dfrac{10!}{2!\times 3! \times 2!}$

Jika terdapat kumpulan objek A1, A2, ... ,An, dan diantara objek-objek tersebut terdapat sebanyak k objek yang sama dengan $0\leq k \leq n$. Maka banyak cara menyusun semua objek tersebut adalah $$\frac{n!}{k!}$$

Permutasi Siklis
Berapa banyak cara menyusun 3 huruf A,B, dan C dalam posisi melingkar?

Banyak cara menyusun huruf A,B, dan C adalah permutasi 3 yaitu $3!=6$ cara. Keenam cara tersebut adalah

ABC,BCA,CAB,ACB,CBA,BAC

Diagram berikut adalah ilustrasi susunan ketiga huruf di atas
permutasi siklis
Perhatikan bahwa ilustrasi tiga permutasi di atas sebenarnya sama, dari A terus ke B terus ke C. Tiga ilustrasi di bawahnya juga sama, dari A terus ke C terus ke B. Jadi banyak cara menyusun 3 huruf secara melingkar adalah 2 yaitu

ABC = BCA = CAB dan
ACB = CBA = BAC

Misalkan terdapat n objek yang berbeda x1, x2, x3, ..., xn-2, xn-1, xn. Jika semua objek tersebut disusun secara melingkar, akan terdapat n-pasang urutan yang sama urutannya secara melingkar. salah satu dari n-pasang tersebut adalah

x1, x2, x3, ..., xn-2, xn-1, xn
xn, x1, x2, x3, ..., xn-2, xn-1
xn-1, xn, x1, x2, x3, ..., xn-2
.
.
.
x3, x4, ..., xn-1, xn, x1, x2
x2, x3, x4, ..., xn-1, xn, x1

Karena terdapat $n$ pasang urutan yang sama secara melingkar dari total $n!$ susunan yang mungkin, maka banyak susunannya secara melingkar adalah $\dfrac{n!}{n}=(n-1)!$

Banyak cara menyusun $n$ objek secara melingkar adalah $$(n-1)!$$

Contoh 6: Sebuah keluarga yang terdiri dari Ayah, Ibu dan 3 orang anaknya akan duduk pada sebuah meja bundar. Jika posisi duduk Ayah dan Ibu harus selalu berdekatan, maka berapa banyak susunan cara mereka duduk??
Penyelesaian: Karena Ayah dan Ibu harus berdekatan maka kita bisa memisalkan Ayah dan Ibu adalah satu objek dengan tiga objek lainnya (3 anak mereka). Sekarang ada 4 objek yang diatur secara melingkar, maka banyak susunan yang mungkin adalah $$(4-1)! = 6$$ Posisi antara Ayah dan Ibu bisa saling menukar, banyak cara mengatur Ayah dan Ibu duduk adalah $2!=2$. Jadi banyak susunan cara mereka duduk adalah $$6\times 2 = 12$$
Kombinasi
Misalkan $A=\{a_1,a_2,a_3,\ldots ,a_n\}$ adalah himpunan $n$ objek yang berbeda. Untuk $0 \leq r \leq n$, sebuah kombinasi $r$ objek dari $A$ adalah semua himpunan bagian dari $A$ dengan $r$ anggota

Contoh sederhananya adalah kombinasi 3 dari {a,b,c,d} adalah

{a,b,c},{a,b,d},{a,c,d} dan {b,c,d}

Permutasi $r$ dari $n$ adalah memilih $r$ objek dari $n$ objek kemudian menyusun objek yang dipilih dalam semua susunan yang berbeda-beda, semua susunan yang berbeda tersebut ada sebanyak $n!$ susunan. Sedangkan kombinasi $r$ dari $n$ hanya memilih $r$ objek dari $n$ objek saja. Jadi dengan aturan perkalian didapatkan hubungan $$_n\mathrm{P}_r = {}_n\mathrm{C}_r \times r!$$ dengan $_n\mathrm{C}_r$ menyatakan banyaknya kombinasi $r$ dari $n$. Persamaan di atas juga dapat dituliskan menjadi
$$_n\mathrm{C}_r=\dfrac{_n\mathrm{P}_r}{r!}=\dfrac{\frac{n!}{(n-r)!}}{r!}=\dfrac{n!}{(n-r)! \times r!}$$
Banyak cara memilih $r$ objek dari $n$ objek yang berbeda dengan $0\leq r \leq n$ adalah $$_n\mathrm{C}_r = \dfrac{n!}{(n-r)!\times r!}$$

Contoh 7: Dalam sebuah kelas yang terdiri dari 20 siswa akan dipilih tim yang terdiri dari 3 orang untuk mewakili kelas dalam lomba cerdas cermat antar kelas. Berapa banyak cara memilih tim di kelas tersebut?
Penyelesaian: Masalah di atas adalah kombinasi 3 dari 20 objek yang berbeda. Maka banyak cara memilih tim adalah
\begin{split}
_{20}\mathrm{C}_3 & =\dfrac{20!}{(20-3)! \times 3!}\\
& =\dfrac{20\times 19 \times 18 \times 17!}{17! \times 3 \times 2\times 1}\\
& =\dfrac{20\times 19 \times 18}{3 \times 2 \times 1}\\
& =1140
\end{split}
Selain dengan $_n\mathrm{C}_r$ kombinasi $r$ dari $n$ objek berbeda sering juga dinyatakan dengan
$$_n\mathrm{C}_r = {}^n\!\mathrm{C}_r=\mathrm{C}^n_r=\mathrm{C}(n,r)=\binom{n}{r}$$

Perbedaan antara Permutasi dan Kombinasi

Permutasi berarti memilih objek dan menyusunnya kembali objek yang dipilih ke dalam susunan yang berbeda-beda. Sedangkan kombinasi adalah memilih objek tanpa mengurutkannya kembali.

Click to comment