Type something and hit enter

author photo
By On
Asimtot adalah sebuah garis yang jaraknya terhadap grafik suatu fungsi mendekati $0$ ketika $x$ ataupun $y$ mendekati $\pm \infty$. Terdapat tiga jenis asimtot yaitu asimtot tegak, datar dan miring. Ketiga jenis asimtot tersebut tidak akan memotong grafik fungsi di tak hingga (selamanya hanya mendekati tanpa pernah meyentuh :v).

Asimtot Tegak

Asimtot tegak dari suatu fungsi $y=f(x)$ adalah garis tegak dengan persamaan $x=a$ sedemikian sehingga paling tidak salah satu pernyataan berikut ini bernilai benar
  1. $\lim\limits_{x \to a^{+}} f(x) = \pm \infty$
  2. $\lim\limits_{x \to a^{-}} f(x) = \pm \infty$
$\lim\limits_{x \to a^{+}}$ berarti limit dari kanan atau $x$ mendekat dari kanan. Sedangkan $\lim\limits_{x \to a^{-}}$ berarti limit kiri atau $x$ mendekat dari kiri.

Limit kiri suatu fungsi di suatu titik bisa bernilai $\infty$ dan limit kanannya bernilai $-\infty$ atau bisa sebaliknya. Bisa juga limit kiri dan limit kanannya sama-sama bernilai $\infty$ maupun sama-sama bernilai $-\infty$. Mengetahui limit kiri dan kanan suatu fungsi sangat penting, karena dengan mengetahui hal tersebut dapat mempermudah kita untuk mengetahui perilaku fungsi di sekitar titik yang tidak terdefinisi nilainya. Dengan mengetahui perilakunya kita dapat mensketsa grafik fungsi dengan baik.

Asimtot tegak suatu fungsi rasional $f(x)=\dfrac{p(x)}{q(x)}$ dapat dicari dengan cara menentukan nilai $x_1$ yang membuat penyebutnya bernilai $0$ ($q(x_1)=0$) sedangkan pembilangnya bukan $0$ ($p(x_1) \neq 0$). Kemudian garis dengan persamaan $x=x_1$ merupakan asimtot tegak fungsi. Asimtot tegak suatu fungsi tidak harus satu buah karena mungkin saja $q(x)$ bernilai nol untuk beberapa nilai $x$ yang berbeda.

Bagaimana jika pembilang dan penyebutnya sama-sama bernilai $0$ untuk $x=x_1$? Apakah $x=x_1$ merupakan asimtot? Belum tentu!. Dengan penyebut dan pembilang sama-sama bernilai $0$ akan muncul bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$. limit bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$ bisa bernilai $\pm \infty$ bisa juga tidak, ini artinya $x=x_1$ belum tentu adalah asimtot fungsi.

Contoh 1: Tentukan asimtot tegak fungsi $y=\dfrac{x+1}{x-1}$.
Solusi: Fungsi tersebut tidak terdefinisi di $x=1$, jadi ada kemungkinan terdapat asimtot tegak di titik tersebut. Oleh karena itu akan dicari nilai limit kiri dan kanan fungsi tersebut untuk $x$ menuju $1$.

Untuk $x$ mendekati 1 dari kanan nilai $$y = \lim_{x \to 1^+} \dfrac{x+1}{x-1}$$ Jika $x$ mendekati 1 dari kanan maka $x$ sangat dekat dengan 1 namun nilai $x > 1$. Dengan demikian pembilangnya akan menuju $x+1 \approx 1+1 = 2$. Penyebutnya akan menuju $x-1\approx 1-1=0$ tapi karena $x$ mendekat dari kanan maka nilai $x-1$ tersebut namun masih berupa bilangan positif. Karena pembilangnya positif dan penyebutnya juga positif maka nilai limit kanan tersebut akan bernilai $\dfrac{2}{0^+} =\infty$. Jadi $x=1$ adalah asimtot tegak dari fungsi yang diminta.

Walaupun asimtot tegak fungsi telah diketahui, akan diperjelas lagi menggunakan limit kiri fungsi tersebut yakni $$y = \lim_{x \to 1^-} \dfrac{x+1}{x-1}$$ Jika $x$ mendekati $1$ dari kiri berarti nilai $x < 1$ sehingga nilai pembilangnya tetap menuju $2$ namun kurang dari $2$. Karena $x < 1$ maka penyebutnya akan mendekati $0$ dari kiri, ini berati penyebutnya adalah bilangan negatif. Pembilangnya bernilai positif dan penyebutnya bernilai negatif maka limit kiri tersebut akan bernilai $\dfrac{2}{0^-}=-\infty$. Dengan kedua informasi limit kiri dan kanan di atas kita dapat mengilustraskannya sebagai berikut

Asimtot Tegak
Pada gambar di atas terlihat bahwa garis $x=1$ merupakan asimtot tegak dari $y=\dfrac{x+1}{x-1}$.

Contoh 2: Tentukan asimtot tegak fungsi $y=\dfrac{x(x+3)}{(x-1)(x^2+2x+1)}$
Solusi: Dengan cara yang sama seperti contoh 1, asimtot tegaknya ditentukan dengan cara menentukan nilai $x_1$ yang membuat penyebutnya sama dengan $0$ yakni
\begin{split}
& (x-1)(x^2+2x+1)=0\\
\Rightarrow & (x-1)(x+1)^2=0\\
\Rightarrow & x=1 \vee x = -1
\end{split} Terdapat dua nilai $x$ yang membuat penyebutnya sama dengan $0$. Tapi apakah $x=1$ dan $x=-1$ keduanya merupakan asimtot tegak? Belum tentu. Harus dicek nilai limitnya dulu!

Untuk $x \to 1^+$ nilai pembilang $y$ menuju $1(1+3)=4$ sedangkan penyebutnya bernilai $(x-1)(x^2+2x+1) \approx (1-1)(1^2+2\cdot 1+1)=0$. Terdapat faktor $(x-1)$ dan $(x+1)^2$, untuk $x > 1$ faktor $(x-1)$ nilanya pasti positif dan faktor $(x+1)^2$ pasti bernilai positif, akibatnya untuk $x$ menuju $1$ dari kanan $(x-1)(x^2+2x+1)$ bernilai positif. Dengan demikian baik pembilangnya maupun penyebutnya adalah bilangan positif, sehingga nilai limit kanan tersebut adalah $\infty$. Jadi garis $x=1$ merupakan asimtot dari fungsi tersebut.

Sebagai informasi tambahan untuk mensketsa fungsi tersebut, dicari juga limit kiri untuk $x$ menuju $1$. Jika $x$ menuju $1$ dari kiri nilai pembilangnya tetap menuju $4$ seperti limit dari kanan. Sedangkan pembilangnya menuju $0$ namun dari kiri karena terdapat faktor $x-1$ sebagai penyebut dan $x < 1$. Pembilangnya adalah bilangan positif dan penyebutnya adalah bilangan positif, jadi nilai limit kanannya adalah $-\infty$. Untuk limit $x$ menuju $-1$ baik dari kiri maupun dari kanan nilai pembilangnya menuju $-1(-1+3)=-2$. Sedangkan penyebutnya menuju $(x-1)(x+1)^2 \approx 0$. Untuk $x$ mendekati baik dari kiri maupun kanan faktor $(x-1) \approx -1-1=-2$ adalah bilangan negatif sedangkan faktor $(x+1)^2$ pasti bernilai positif karena bilangan kuadrat dan $x\neq 1$. Kedua bilangan tersebut dikalikan tentu menghasilkan bilangan negatif. Dengan demikian baik untuk limit kiri maupun kanan nilai pembilang dan penyebutnya akan sama-sama negatif. Sehingga $$\lim\limits_{x \to -1}\dfrac{x(x+3)}{(x-1)(x^2+2x+1)}=\infty$$ Jadi $x=-1$ adalah asimtot tegak juga

Asimtot Tegak

Asimtot Datar

Asimtot datar dari suatu fungsi $y=f(x)$ adalah garis mendatar yang dengan persamaan $y=b$ sedemikian sehingga $$\lim\limits_{x\to \infty}f(x)=b$$ atau $$\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=b$$

Suatu fungsi bisa saja memiliki lebih dari dua asimtot tegak, namun hanya bisa memiliki paling banyak dua asimtot datar. Jika nilai limitnya di tak hingga atau negatif tak hingga tidak ada, maka fungsi tidak memiliki asimtot datar. Jika limit menuju tak hingga sama dengan limit menuju negatif takhingga maka terdapat satu asimtot datar. Jika limit menuju tak hingga tidak sama dengan limit menuju negatif takhingga maka terdapat dua asimtot datar.

Contoh 3: Tentukan asimtot datar fungsi $y=\dfrac{2x-1}{x+1}$.
Solusi: Nilai limit fungsi tersebut untuk $x$ menuju tak hingga adalah $2$. Jadi fungsi tersebut memiliki asimtot $y=2$
Asimtot Datar

Asimtot Miring

Asimtot miring dari suatu fungsi $y=f(x)$ adalah garis dengan persamaan $y=mx+c$ dan $m \neq 0$ sedemikian sehingga $$\lim\limits_{x\to \infty}f(x) - mx+c =0$$

Apa jadinya jika $m=0$? Tentu akan terbentuk persamaan $y=c$ yang merupakan sebuah asimtot tegak.

Untuk fungsi rasional $f(x)=\dfrac{p(x)}{q(x)}$ akan memiliki asimtot miring jika $p(x)$ dan $q(x)$ adalah fungsi polinomial serta derajat $p(x)$ lebih besar 1 dari pada derajat $q(x)$. Dengan derajat pembilang lebih besar dari pada penyebut, maka untuk $x$ menuju $\pm \infty$ akan membuat nilai $f$ akan menuju $\pm \infty$ dan bukan suatu bilangan tertentu. Ini berarti suatu fungsi yang berbentuk $f(x)=\dfrac{p(x)}{q(x)}$ tidak mungkin memiliki asimtot miring dan datar sekaligus .Selebihnya tentang polinomial dan derajat silahkan baca di sini

Untuk menentukan persamaan asimtot miring fungsi rasional $f(x)=\dfrac{p(x)}{q(x)}$ dapat dilakukan dengan mengubahnya menjadi $$f(x)=mx+c+\frac{r(x)}{q(x)}$$ Garis $y=mx+c$ dengan nilai $m$ dan $c$ yang didapatkan dari persamaan di atas adalah asimtot miring dari $f(x)$.

Contoh 3: Tentukan asimtot miring fungsi $y=\dfrac{x^2+4x+5}{x+2}$
Solusi: Fungsi di atas dapat dituliskan kembali menjadi
\begin{split}
y & = \dfrac{x^2+4x+5}{x+2}\\
& = \dfrac{x^2+4x+4 + 1}{x+2}\\
& = \dfrac{(x+2)^2}{x+2} + \dfrac{1}{x+2}\\
& = x+2 + \dfrac{1}{x+2}\\
\end{split} Dari persamaan di atas diperoleh asimtot miring dari fungsi tersebut adalah $y=x+2$, berikut ilustrasinya
Asimtot Miring
Soal-soal yang berkaitan dengan asimtot banyak terdapat pada soal sbmptn 2017 yang bisa di lihat disini

Click to comment