Type something and hit enter

author photo
By On
Garis singgung lingkaran merupakan garis yang memotong lingkaran tepat di satu titik. Titik dimana garis singgung dan lingkaran berpotongan disebut dengan titik singgung. Garis singgung memiliki sifat tegak lurus dengan jari-jari yang dibuat dari pusat ke arah titik singgung. Misalkan garis l menyinggung lingkaran dengan pusat O di titik A, dan dibuat segmen garis OA maka garis l akan tegak lurus dengan segmen garis OA.
Persamaan Garis Singgung Lingkaran
Pada gambar di atas garis l menyinggung lingkaran di titik A. Garis k memotong lingkaran di titik B dan C serta garis m tidak memotong maupun menyinggung lingkaran.

Persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien m

Misalkan garis dengan gradien m menyinggung lingkaran dengan pusat (a,b) dan jari-jari r maka persamaan garis singgungnya diberikan oleh rumus $$y-b=m(x-a) \pm r\sqrt{1+m^2}$$

Bukti

Tanpa mengurangi perumuman lingkaran dengan pusat (0,0) dan jari-jari r dengan persamaan $x^2+y^2=r^2$ disinggung oleh garis dengan gradien m yaitu $$y=mx+c$$ Akan ditentukan nilai c sedemikian sehingga garis tersebut menyinggung lingkaran.
Persamaan Garis Singgung Lingkaran
Substitusikan persamaan garis ke persamaan lingkaran diperoleh \begin{split} & x^2+y^2=r^2\\ \Rightarrow & x^2+(mx+c)^2=r^2\\ \Rightarrow & x^2+m^2x^2+2mcx+c^2=r^2\\ \Rightarrow & (1+m^2)x^2+2mcx+(c^2-r^2)=0 \end{split} Persamaan terakhir di atas adalah persamaan kuadrat dalam x. Karena garis dan lingkaran bersinggungan maka hanya terdapat satu titik potong antara garis dan lingkaran, dengan kata lain persamaan kuadrat di atas hanya meiliki satu penyelesaian dan ditandai dengan nilai diskriminannya sama dengan 0. Oleh sebab itu \begin{split} & D = 0\\ \Rightarrow & B^2-4AC = 0\\ \Rightarrow & (2mc)^2-4(1+m^2)(c^2-r^2)=0\\ \Rightarrow & 4m^2c^2-4(m^2c^2-m^2r^2+c^2-r^2)=0\\ \Rightarrow & \color{Red}{4m^2c^2-4m^2c^2}+4m^2r^2-4c^2+4r^2=0\\ \Rightarrow & 4m^2r^2-4c^2+4r^2=0\\ \Rightarrow & m^2r^2-c^2+r^2=0\\ \Rightarrow & c^2=m^2r^2+r^2\\ \Rightarrow & c^2=r^2(1+m^2)\\ \Rightarrow & c=\pm r\sqrt{1+m^2} \end{split} Dengan demikian persamaan garis singgung lingkaran tersebut adalah $$y=mx \pm r\sqrt{1+m^2}$$ Sekarang jika lingkaran ditransalasi oleh T(a,b) maka pusat lingkaran menjadi (a,b) namun dengan jari-jari tetap yaitu r. Translasi T tersebut jika diterapkan ke persamaan garis singgung akan diperoleh persamaan $$y-b=m(x-a) \pm r\sqrt{1+m^2}$$ Dengan demikian garis yang ditranslasi tersebut akan menjadi garis singgung persamaan lingkaran dengan pusat (a,b) dan jari-jari r.

Diperoleh dua nilai c yang berbeda yaitu $c=r\sqrt{1+m^2}$ atau $c=-r\sqrt{1+m^2}$, hal ini disebabkan karena ada dua kemungkinan garis singgung pada lingkaran dengan gradien m. Perhatikan gambar berikut ini
Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Persamaan garis singgung lingkaran di titik singgung $(x_1,y_1)$

Garis singgung dapat dibentuk dari sebuah titik yang berada pada lingkaran dan hanya ada satu garis singgung yang dapat dibentuk. Misalkan lingkaran yang memiliki pusat (a,b) dengan jari-jari r dan pada lingkaran tersebut terdapat titik $(x_1,y_1)$. Pada titik $(x_1,y_1)$ tersebut dapat dibuat sebuah garis singgung dengan persamaan $$(x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b)=r^2$$

Bukti

Tanpa mengurangi perumuman dibuat lingkaran yang pusatnya O(0,0) dan jari-jari r. Pada lingkaran tersebut terdapat titik $(x_1,y_1)$, kemudian dibuat garis yang melalui O dan A. Gradien garis OA tersebut adalah $m_1=\dfrac{y_1}{x_1}$.
Persamaan Garis Singgung Lingkaran
Karena sifat garis singgung yang tegak lurus dengan jari-jari, maka dapat diketahui gradien dari garis singgung yang melalui $(x_1,y_1)$ di atas adalah $m_2=-\dfrac{1}{m_1}=-\dfrac{x_1}{y_1}$. Dengan demikian persamaan garis singgung pada titik tersebut adalah \begin{split} & y-y_1=m_2(x-x_1)\\ \Rightarrow & y-y_1=-\dfrac{x_1}{y_1}(x-x_1)\\ \Rightarrow & y_1y-y_1^2=-x_1x+x_1^2\\ \Rightarrow & x_1x+y_1y=x_1^2+y_1^2 \end{split} Titik $(x_1,y_1)$ berada pada lingkaran akibatnya $x_1^2+y_1^2=r^2$, sehingga persamaan terakhir di atas dapat ditulis sebagai $$x_1x+y_1y=r^2\text{ ...(i)}$$ Sekarang, jika lingkaran dengan pusat O(0,0) tersebut ditransalasi oleh T(a,b) maka pusat lingkaran akan menjadi (a,b) dan sebarang titik (x,y) pada lingkaran akan menjadi $$(x',y')=(x+a,y+b)\text{ ...(ii)}$$ dan titik $(x_1,y_1)$ akan menjadi $$A'(x_1',y_1')=(x_1+a,y_1+b)\text{ ...(iii)}$$ Pada persamaan (ii) diperoleh \begin{split} & x'=x+a \Rightarrow x=x'-a\\ & y'=y+b \Rightarrow y=y'-b \end{split} Pada persamaan (iii) diperoleh \begin{split} & x_1'=x_1+a \Rightarrow x_1=x_1'-a\\ & y_1'=y_1+b \Rightarrow y_1=y_1'-b \end{split} Substitusikan keempat persamaan baru tersebut ke persamaan (i) diperoleh persamaan $(x_1'-a)(x'-a)+(y_1'-b)(y'-b)=r^2$. Dengan menghapus tanda ' pada persamaan tersebut didapatkan persamaan garis singgung lingkaran di titik $(x_1,y_1)$ pada lingkaran yang berpusat di (a,b) dan jari-jari r yaitu $$(x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b)=r^2$$

Kesimpulan

  1. Persamaan garis singgung yang bergradien m pada lingkaran yang berpusat di (0,0) dan berjari-jari r adalah $$y=mx \pm r\sqrt{1+m^2}$$
  2. Persamaan garis singgung yang bergradien m pada lingkaran yang berpusat di (a,b) dan berjari-jari r adalah $$y-b=m(x-a) \pm r\sqrt{1+m^2}$$
  3. Persamaan garis singgung di titik singgung $(x_1,y_1)$ pada lingkaran yang berpusat di (0,0) dan berjari-jari r adalah $$x_1x+y_1y=r^2$$
  4. Persamaan garis singgung di titik singgung $(x_1,y_1)$ pada lingkaran yang berpusat di (a,b) dan berjari-jari r adalah $$(x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b)=r^2$$

Click to comment