Type something and hit enter

author photo
By On
Soal #11
$\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{\sin \dfrac{3}{x}}{\left(1-\cos \dfrac{4}{x}\right)x}=\ldots$

Pembahasan
Misalkan $x = \dfrac{1}{y}$ maka limit di atas dapat dinyatakan menjadi \begin{split} & \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sin \dfrac{3}{x}}{\left(1-\cos \dfrac{4}{x}\right)x}\\ = & \lim_{y \to 0} \dfrac{\sin 3y}{\left(1-\cos 4y\right)\dfrac{1}{y}}\\ = & \lim_{y \to 0} \dfrac{y \sin 3y}{\left(1-\cos 4y\right)}\\ = & \lim_{y \to 0} \dfrac{y \sin 3y}{\left(1-\left(1-2\sin^2 2y\right)\right)}\\ = & \lim_{y \to 0} \dfrac{y \sin 3y}{2\sin^2 2y}\\ = & \lim_{y \to 0} \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{y}{\sin 2y}\cdot \dfrac{\sin 3y}{\sin 2y}\\ = & \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{3}{2}\\ = & \dfrac{3}{8} \end{split}
Soal #12
Kurva $y=\dfrac{x^2+4x+a}{x^3+1}$ memotong asimtot datarnya sebanyak 2 kali jika ...

Pembahasan
Asimtot datarnya adalah $$y = \lim_{x \to \infty} \dfrac{x^2+4x+a}{x^3+1}$$ Karena derajat penyebut lebih besar dari derajat pembilang maka nilai limit di atas adalah $0$. Ini berarti asimtot datarnya adalah garis $y=0$.

Titik potong antara kurva dan asimtotnya dapat ditentukan dengan mensubsitusikan persamaan kurva $y=\dfrac{x^2+4x+a}{x^3+1}$ dan asimtot $y=0$ yakni \begin{split} & \dfrac{x^2+4x+a}{x^3+1}=0\\ \Rightarrow & x^2+4x+a=0 \end{split} Karena kurva memotong asimtot sebanyak 2 kali, maka persamaan di atas memiliki dua akar yang ditandai dengan diskriminanya lebih dari 0 \begin{split} & D > 0\\ \Rightarrow & 4^2-4\cdot 1\cdot a > 0\\ \Rightarrow & 16-4a > 0\\ \Rightarrow & -4a > -16\\ \Rightarrow & a < 4 \end{split}
Soal #13
Jika $f(x)=\csc(\tan x)$, maka $f'(x)=\ldots$

Pembahasan
Misalkan $\tan x = u$ maka $f(x)=\csc(u)$, sehingga \begin{split} f'(x) = & \dfrac{df}{dx}\\ = & \dfrac{df}{du} \cdot \dfrac{du}{dx}\\ = & (-\csc (u) \cot (u)) \cdot \sec^2 x\\ = & -\csc(\tan x) \cot (\tan x) \cdot \sec^2 x \end{split}
Soal #14
Jika garis singgung dari kurva $y=x^3 + a\sqrt{x}$ di titik $(1,b)$ adalah $y=ax-c$, maka $a+b+c=\ldots$

Pembahasan
Gradien garis singgung dari kurva $y=x^3 + a\sqrt{x}$ di titik $(1,b)$ adalah nilai turunan pertama kurva $y=x^3 + a\sqrt{x}$ di titik $x=1$. $$y' = 3x^2 + \dfrac{a}{2\sqrt{x}}$$ Substitusikan $x=1$ diperoleh gradien $$m = 3 + \dfrac{a}{2}$$ Karena persamaan garis singgung tersebut adalah $y=ax-c$, maka gradiennya juga $m=a$ akibatnya $$3+\dfrac{a}{2}$=a$$ Dari persamaan di atas diperoleh $a=6$. sehingga persamaan kurva adalah $$y=x^3+6\sqrt{x}$$ Kurva tersebut melalui titik $(1,b)$ berarti $$b=1^3+6\sqrt{1}=7$$ Dengan rumus $y-y_1=m(x-x_1)$ diperoleh persamaan garis singgungnya \begin{split} & y-7=6(x-1)\\ \Rightarrow & y=6x+1 \end{split} Dari persamaan di atas diperoleh $-c=1\Rightarrow c=-1$. Jadi $a+b+c=6+7-1=12$
Soal #15
Di dalam kotak I terdapat 12 bola putih dan 3 bola merah. Di dalam kotak II terdapat 4 bola putih dan 4 bola merah. Jika dari kotak I dan kotak II masing-masing diambil 2 bola satu per satu dengan pengembalian, maka peluang yang terambil 1 bola merah adalah ...

Pembahasan
Kemungkinan terambil 1 bola merah yaitu
a) dari kotak I terambil satu merah satu putih dan dari kotak II terambil keduanya putih
b) dari kotak I terambil keduanya putih dan dari kotak II terambil satu merah satu putih

Kasus pertama
dari kotak I terambil satu merah satu putih, peluangnya adalah $2\cdot \dfrac{3}{15}\cdot\dfrac{12}{15}=\dfrac{8}{25}$ (perkalian dengan 2 karena urutan bisa putih dulu kemudian merah atau merah dulu baru putih)
dari kotak II terambil keduanya putih, peluangnya adalah $\dfrac{4}{8}\cdot\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{4}$
sehingga peluang terjadinya kasus pertama adalah $\dfrac{8}{25} \cdot \dfrac{1}{4}= \dfrac{2}{25}$

Kasus kedua
dari kotak I terambil keduanya putih, peluangnya adalah $\dfrac{12}{15}\cdot \dfrac{12}{15}=\dfrac{16}{25}$
dari kotak II terambil satu merah satu putih, peluangnya adalah $2 \dfrac{4}{8}\cdot\dfrac{4}{8}=\dfrac{2}{4}$
sehingga peluang terjadinya kasus kedua adalah $\dfrac{16}{25} \cdot \dfrac{2}{4} = \dfrac{8}{25}$

Jadi peluang yang terambil 1 bola merah adalah $\dfrac{2}{25}+\dfrac{8}{25}=\dfrac{10}{25}=0.4$
Part 1: nomer 1 - 5
Part 2: nomer 6 - 10
Part 3: nomer 11 - 15

Click to comment