Type something and hit enter

author photo
By On
Soal #6
Suatu hiperbola mempunyai fokus (−6,0) dan (4,0). Salah satu titik potong hiperbola dengan sumbu X adalah (3,0). Persamaan asimtot hiperbola tersebut adalah ...

Pembahasan
Pusat dari hiperbola adalah titik tengah antara kedua fokus yaitu $\dfrac{(-6,0)+(4,0)}{2}=(-1,0)$. Karena kedua fokus memiliki ordinat yang sama yaitu 0, ini berarti sumbu simetri hiperbola adalah garis y = 0 atau sumbu X, sehingga persamaan hiperbola tersebut dapat dinyatakan dengan $$\dfrac{(x+1)^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$$ titik potong hiperbola dengan sumbu X adalah (3,0) maka \begin{split} & \dfrac{(3+1)^2}{a^2}-\dfrac{0^2}{b^2}=1\\ \Rightarrow & \dfrac{16}{a^2}=1\\ \Rightarrow & a^2=16 \end{split} Pada hiperbola berlaku hubungan $$c^2=a^2+b^2$$ dengan c merupakan setengah kali jarak antara kedua fokus. Karena kedua fokusnya adalah (−6,0) dan (4,0) maka jaraknya adalah 10 sehingga c = 5, akibatnya \begin{split} & c^2=a^2+b^2\\ \Rightarrow & 5^2=16+b^2\\ \Rightarrow & b^2=9 \end{split} Sehingga diperoleh persamaan hiperbola $$\dfrac{(x+1)^2}{16}-\dfrac{y^2}{9}=1$$ dan persamaan asimtotnya diberikan oleh \begin{split} & \dfrac{(x+1)^2}{16}-\dfrac{y^2}{9}=0\\ \Rightarrow & \dfrac{(x+1)^2}{16}=\dfrac{y^2}{9}\\ \Rightarrow & (x+1)^2=\dfrac{16}{9}y^2\\ \Rightarrow & x+1=\pm \dfrac{4}{3}y\\ \Rightarrow & 3x+3=\pm 4y\\ \Rightarrow & 3x \pm 4y=-3 \end{split} Jadi persamaan asimtotnya adalah 3x + 4y = −3 atau 3x − 4y = −3

catatan: kedua jawaban di atas tidak ada di pilihan jawaban

Soal #7
Sisa pembagian polinom $p(x)$ oleh $(x^2-4)$ adalah $(ax+b)$. Jika sisa pembagian $p(x)$ oleh $(x-2)$ adalah $3$ dan sisa pembagian $p(x)$ oleh $(x+2)$ adalah $-5$, maka nilai $4a+b$ adalah ...

Pembahasan
Jika sisa pembagian polinom $p(x)$ oleh $(x^2-4)$ adalah $(ax+b)$ maka ada suatu polinom $q(x)$ sedemikian sehingga $$p(x) = q(x)(x^2-4) + (ax+b)\text{...(*)}$$ Dengan menggunakan Teorema Sisa dan kenyataan sisa pembagian $p(x)$ oleh $(x-2)$ adalah $3$ dan sisa pembagian $p(x)$ oleh $(x+2)$ adalah $-5$ diperoleh $$p(2)=3 \text{ dan } p(-2)=-5$$ Subsitusikan $x=2$ dan $x=-2$ ke persamaan (*) diperoleh \begin{split} 2a+b & = 3\\ -2a+b & = -5 \end{split} Dengan menyelesaikan sistem persamaan linier di atas diperoleh $a=2$ dan $b=-1$. Jadi $4a+b=7$

Soal #8
Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Kode 161 Matematika IPA
Diketahui suatu lingkaran kecil dengan radius $3\sqrt{2}$ melalui pusat suatu lingkaran besar dengan radius 6. Ruas garis yang menghubungkan dua titik potong lingkaran merupakan diameter dari lingkaran kecil, seperti pada gambar. Luas daerah irisan kedua lingkaran adalah ...

Pembahasan
Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Kode 161 Matematika IPA
Daerah irisan tersebut terdiri dari dua tembereng lingkaran, oleh karena itu akan dihitung satu persatu kemudian jumlahkan hasilnya.

Bagian pertama
Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Kode 161 Matematika IPA
Pada gambar di atas daerah berwarna biru merupakan tembereng lingkaran besar. Luasnya diperoleh dari Luas juring DAE dikurangi luas segitiga DAE.

Karena DE merupakan diameter lingkaran kecil maka sudut DAE adalah sudut siku-siku, sehingga luas juring DAE adalah $\dfrac{90^{\circ}}{360^{\circ}}\pi \cdot 6^2=9 \pi$ dan luas segitiga DAE adalah $\dfrac{DA\cdot EA}{2}=\dfrac{6\cdot 6}{2}=18$. Oleh karena itu luas tembereng di atas (warna biru) adalah $9\pi - 18$.

Bagian kedua
Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Kode 161 Matematika IPA
Daerah berwarna biru di atas merupakan daerah setengah lingkaran yang kecil(karena DE adalah diameter), yang luasnya $\dfrac{1}{2}\pi \cdot (3\sqrt{2})^2 = 9\pi$.

Jadi luas daerah irisan tersebut adalah $9\pi - 18 + 9\pi= 18\pi-18$

Soal #9
Jika $\int_{-4}^4 f(x)(\sin x + 1)\ dx = 8$, dengan $f(x)$ fungsi genap dan $\int_{-2}^4 f(x) dx = 4$, maka $\int_{-2}^0 f(x)\ dx$ adalah ...

Pembahasan
\begin{split} & \int_{-4}^4 f(x)(\sin x + 1)\ dx = 8\\ \Rightarrow & \int_{-4}^4 f(x) \sin x\ dx + \int_{-4}^4 f(x)\ dx = 8 \end{split} $f(x)$ fungsi genap dan $\sin x$ fungsi ganjil maka $f(x) \sin x$ merupakan fungsi ganjil sehingga $\int_{-4}^4 f(x) \sin x\ dx=0$ dan $\int_{-4}^4 f(x)\ dx = 2 \int_{0}^4 f(x)\ dx$. Oleh karena itu \begin{split} & \int_{-4}^4 f(x) \sin x\ dx + \int_{-4}^4 f(x)\ dx = 8\\ \Rightarrow & 0 + \int_{-4}^4 f(x)\ dx = 8\\ \Rightarrow & \int_{-4}^4 f(x)\ dx = 8\\ \Rightarrow & 2 \int_{0}^4 f(x)\ dx = 8\\ \Rightarrow & \int_{0}^4 f(x)\ dx = 4\\ \Rightarrow & \int_{0}^4 f(x)\ dx = 4 \end{split} Oleh karena itu \begin{split} & \int_{-2}^4 f(x) dx = 4\\ \Rightarrow & \int_{-2}^0 f(x) dx + \int_{0}^4 f(x)\ dx = 4\\ \Rightarrow & \int_{-2}^0 f(x) dx + 4 = 4\\ \Rightarrow & \int_{-2}^0 f(x) dx = 0 \end{split}
Referensi: Fungsi Ganjil dan Genap

Soal #10
$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x}{2\csc x (1-\sqrt{\cos x})}=\ldots $

Pembahasan
\begin{split} & \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{2\csc x (1-\sqrt{\cos x})}\\ = & \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{\dfrac{2}{\sin x} (1-\sqrt{\cos x})} \times \dfrac{(1+\sqrt{\cos x})}{(1+\sqrt{\cos x})}\\ = & \lim_{x \to 0} \dfrac{x(1+\sqrt{\cos x})}{\dfrac{2}{\sin x} (1-\cos x)}\\ = & \lim_{x \to 0} \dfrac{x\sin x(1+\sqrt{\cos x})}{2 (1-\cos x)}\\ = & \lim_{x \to 0} \dfrac{x\sin x(1+\sqrt{\cos x})}{2 \left(1-\left(1-2\sin^2 \dfrac{1}{2}x \right)\right)}\\ = & \lim_{x \to 0} \dfrac{x\sin x(1+\sqrt{\cos x})}{2 \left(2\sin^2 \dfrac{1}{2}x\right)}\\ = & \lim_{x \to 0} \dfrac{x\sin x(1+\sqrt{\cos x})}{4\sin^2 \dfrac{1}{2}x}\\ = & \lim_{x \to 0} \dfrac{1}{4}\dfrac{x}{\sin \dfrac{1}{2}x} \dfrac{\sin x}{\sin \dfrac{1}{2}x}(1+\sqrt{\cos x})\\ = & \dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{1}{\dfrac{1}{2}}\cdot \dfrac{1}{\dfrac{1}{2}}\cdot (1+1)\\ = & \dfrac{1}{4}\cdot 2 \cdot 2 \cdot 2\\ = & 2 \end{split}

Part 1: nomer 1 - 5
Part 2: nomer 6 - 10
Part 3: nomer 11 - 15

2 komentar

avatar

pertanyaan terkait hiperbola untuk nomer 6.
1) dapatkah mengetahui sumbu utama hiperbola dari kedua titik fokusnya ?

dilihat dari kedua titik fokus hiperbola yang adalah (-6,0) dan (4,0) berarti sumbu utama hiperbola adalah sumbu-X.

2) dapatkah saya menyatakan begini :
"karena sumbu utama hiperbola adalah sumbu-X dan hiperbola memotong sumbu-X di (3,0) berarti (3,0) adalah salah satu titik puncak hiperbola"
dengan begitu lebih mudah untuk mencari nilai a dan c.
tanpa harus mensubstitusikan titik (3,0) ke persamaannya.


mohon penjelasannya terimakasih.

avatar

1) Ya Benar
2) Ya Benar juga

Click to comment