Type something and hit enter

author photo
By On
Soal #1
Jika $x$ dan $y$ memenuhi sistem persamaan $\begin{cases} \dfrac{2}{2x-y}-\dfrac{1}{x-3y}=2\\ \dfrac{1}{2x-y}+\dfrac{3}{x-3y}=-\dfrac{5}{2} \end{cases}$ maka nilai $x + 2y = \ldots$

Pembahasan
Misalkan $\dfrac{1}{2x-y}=p$ dan $\dfrac{1}{x-3y}=q$ maka sistem persamaan di atas dapat ditulis sebagai \begin{split} 2p - q & = 2\\ p + 3q & = -\dfrac{5}{2} \end{split} Dengan menyelesaikan sistem persamaan di atas diperoleh $p = \dfrac{1}{2}$ dan $q = -1$, sehingga $$\dfrac{1}{2x-y}=\dfrac{1}{2} \Rightarrow 2x-y =2$$ $$\dfrac{1}{x-3y}=1 \Rightarrow x-3y=-1$$ Selesaikan sistem persamaan di atas diperoleh $x = \dfrac{7}{5}$ dan $y = \dfrac{4}{5}$. Jadi $x + 2y = \dfrac{7}{5} + 2\cdot \dfrac{4}{5} = \dfrac{15}{5}=3$
Soal #2
Seorang pelajar berencana untuk menabung di koperasi yang keuntungannya dihitung setiap semester. Apabila jumlah tabungannya menjadi dua kali lipat dalam 5 tahun, maka besar tingkat suku bunga per tahun adalah ...

Pembahasan
Misalkan tabungan awalnya $= M$, suku bunga yang didapat sebesar $b$, maka setelah 5 tahun (10 semester) tabungannya menjadi $M(1 + b)^{10}$. Tetapi karena setelah 5 tahun tabungannya menjadi dua kali lipat maka diperoleh persamaan \begin{split} & M(1+b)^{10}=2M\\ \Rightarrow & (1+b)^{10}=2\\ \Rightarrow & 1+b=\sqrt[10]{2}\\ \Rightarrow & b=\sqrt[10]{2}-1 \end{split} Jadi besar tingkat suku bunga per tahun adalah $2b = 2(\sqrt[10]{2}-1)$
Soal #3
Himpunan penyelesaian dari $\dfrac{x}{|x-2|} \geq 1$ adalah ...

Pembahasan
Jika $x > 2$ maka \begin{split} & \dfrac{x}{|x-2|} \geq 1\\ \Rightarrow & \dfrac{x}{x-2} \geq 1\\ \Rightarrow & \dfrac{x}{x-2} - 1 \geq 0\\ \Rightarrow & \dfrac{x}{x-2} - \dfrac{x-2}{x-2} \geq 0\\ \Rightarrow & \dfrac{2}{x-2} \geq 0\\ \Rightarrow & x > 2 \end{split} Jika $x < 2$ maka \begin{split} & \dfrac{x}{|x-2|} \geq 1\\ \Rightarrow & \dfrac{x}{-x+2} \geq 1\\ \Rightarrow & \dfrac{x}{-x+2} - 1 \geq 0\\ \Rightarrow & \dfrac{x}{x-2} - \dfrac{-x+2}{-x+2} \geq 0\\ \Rightarrow & \dfrac{2x-2}{x-2} \geq 0\\ \Rightarrow & 1 \leq x < 2 \end{split} Jadi himpunan penyelesaiannya adalah $x \geq 1$ dengan $x \neq 2$

Referensi: Pertidaksamaan Rasional
Soal #4
Diketahui vektor $a=(4,6)$, $b=(3,4)$, dan $c=(p,0)$. Jika $c-a$ tegak lurus $b$, maka cosinus sudut antara $a$ dan $c$ adalah ...

Pembahasan
Jika $c-a$ tegak lurus $b$ maka \begin{split} & (c-a)\cdot b = 0\\ \Rightarrow & ((p,0)-(4,6))\cdot (3,4) = 0\\ \Rightarrow & (p-4,-6)\cdot (3,4) = 0\\ \Rightarrow & 3p-12-24 = 0\\ \Rightarrow & p = 12 \end{split} Misalkan sudut antara vektor $a$ dan $c$ adalah $\theta$ maka \begin{split} & \cos \theta = \dfrac{a\cdot c}{|a||c|}\\ \Rightarrow & \cos \theta = \dfrac{(4,6)\cdot (12,0)}{\sqrt{4^2+6^2}\sqrt{12^2+0^2}}\\ \Rightarrow & \cos \theta = \dfrac{48}{24\sqrt{13}}\\ \Rightarrow & \cos \theta = \dfrac{2}{\sqrt{13}}\\ \Rightarrow & \cos \theta = \dfrac{2}{13}\sqrt{13} \end{split}
Soal #5
Jika $4-4\sin x + \csc x = 0$, untuk $0 \leq x \leq \pi$, maka nilai $\sin^2 x$ yang mungkin adalah ...

Pembahasan
\begin{split} & 4-4\sin x + \csc x = 0\\ \Rightarrow & 4-4\sin x + \dfrac{1}{\sin x} = 0 \end{split} Karena $0 \leq x \leq \pi$ maka $\sin x \neq 0$, ini berarti ruas kiri dan kanan persamaan di atas dapat dikalikan dengan $\sin x$ sehingga menjadi \begin{split} & 4-4\sin x + \dfrac{1}{\sin x} = 0\\ \Rightarrow & 4\sin x -4\sin^2 x + 1 = 0\\ \Rightarrow & 4\sin^2 x - 4\sin x - 1 = 0 \end{split} Dengan rumus ABC diperoleh \begin{split} \sin x = & \dfrac{4 \pm \sqrt{32}}{8}\\ = & \dfrac{1}{2} \pm \dfrac{1}{2}\sqrt{2} \end{split} Karena $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\sqrt{2} > 1$ maka haruslah nilai $\sin x = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}\sqrt{2}$
Part 1: nomer 1 - 5
Part 2: nomer 6 - 10
Part 3: nomer 11 - 15

Click to comment