Type something and hit enter

author photo
By On
Pada materi persamaan lingkaran pasti berkaitan dengan panjang jari-jari lingkaran. Untuk menentukan panjang jari-jari lingkaran dapat digunakan berbagai macam cara tergantung apa yang diketahui. Salah satu yang mungkin diketahui adalah pusat lingkaran dan garis singgung lingkaran. Untuk menentukan jarak titik dan garis ini dapat digunakan rumus berikut
Jika diberikan sebuah titik $(x_1,y_1)$ dan garis dengan persamaan $ax+by+c=0$, maka jarak antara titik dan garis tersebut adalah $$d=\dfrac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

Bukti
Dimulai dari garis dengan persamaan $ax+by+c=0$ dan sebuah titik $(x_1,y_1)$. Garis tersebut diberikan label $l$ dan memiliki gradien $-\dfrac{a}{b}$.
Rumus Jarak antara Titik dan Garis
Kemudian bentuk garis yang melalui $(x_1,y_1)$ dan sejajar garis $l$. Garis ini diberikan label $k$ dan memiliki persamaan $ax+by=ax_1+by_1$.
Rumus Jarak antara Titik dan Garis

Selanjutnya buat garis yang melalui $(0,0)$ dan tegak lurus garis $l$ atau $k$. Garis ini diberi label $j$ dan memiliki persamaan $bx-ay=0$.
Rumus Jarak antara Titik dan Garis

Titik potong antara garis $j$ dan $k$ adalah titik $A$ dan titik potong antara garis $j$ dan $l$ adalah $B$. Jarak antara titik $(x_1,y_1)$ akan sama dengan panjang $AB$. Koordinat titik $A$ diperoleh dengan cara menyelesaikan sistem persamaan yang terbentuk oleh garis $j$ dan $k$ yaitu \begin{split} & ax+by=ax_1+by_1\\ & bx-ay=0 \end{split} Dari sistem di atas diperoleh $x_a=\dfrac{a^2x_1+aby_1}{a^2+b^2}$ dan $y_a=\dfrac{abx_1+b^2y_1}{a^2+b^2}$. Sehingga koordinat titik $A$ adalah $\left(\dfrac{a^2x_1+aby_1}{a^2+b^2} , \dfrac{abx_1+b^2y_1}{a^2+b^2}\right)$.

Koordinat titik $B$ diperoleh dengan cara menyelesaikan sistem persamaan yang terbentuk oleh garis $j$ dan $l$ yaitu \begin{split} & ax+by=-c\\ & bx-ay=0 \end{split} Dari sistem di atas diperoleh $x_b=\dfrac{-ac}{a^2+b^2}$ dan $y_b=\dfrac{-bc}{a^2+b^2}$. Sehingga koordinat titik $B$ adalah $\left(\dfrac{-ac}{a^2+b^2} , \dfrac{-bc}{a^2+b^2}\right)$.

Dengan menggunakan rumus jarak dua titik $d=\sqrt{(x_a-x_b)^2+(y_a-y_b)^2}$, dapat ditentukan panjang $AB$ adalah
\begin{split} d = & \sqrt{\left( \dfrac{a^2x_1+aby_1}{a^2+b^2} - \dfrac{-ac}{a^2+b^2} \right)^2 + \left( \dfrac{abx_1+b^2y_1}{a^2+b^2} - \dfrac{-bc}{a^2+b^2} \right)^2}\\ = & \sqrt{\left( \dfrac{a^2x_1+aby_1+ac}{a^2+b^2} \right)^2 + \left( \dfrac{abx_1+b^2y_1+bc}{a^2+b^2} \right)^2}\\ = & \sqrt{\dfrac{(a(ax_1+by_1+c))^2+(b(ax_1+by_1+c))^2}{(a^2+b^2)^2}}\\ = & \sqrt{\dfrac{a^2(ax_1+by_1+c)^2+b^2(ax_1+by_1+c)^2}{(a^2+b^2)^2}}\\ = & \sqrt{\dfrac{(a^2+b^2)(ax_1+by_1+c)^2}{(a^2+b^2)^2}}\\ = & \sqrt{\dfrac{(ax_1+by_1+c)^2}{(a^2+b^2)}}\\ = & \dfrac{\sqrt{(ax_1+by_1+c)^2}}{\sqrt{a^2+b^2}} \end{split}
Nilai dari $ax_1+by_1+c$ bisa saja bernilai negatif tetapi karena bilangan tersebut dikuadratkan dahulu baru diberikan tanda akar maka sama saja dengan memberikannya tanda mutlak. Dengan demikian diperoleh rumus jarak antara $(x_1,y_1)$ dan garis $ax+by+c=0$ adalah $$\dfrac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

Click to comment