Type something and hit enter

author photo
By On
Lingkaran adalah himpunan titik-titik yang terletak pada bidang datar dan memiliki jarak yang sama terhadap suatu titik tertentu. Jika bidang datar tersebut merupakan bidang kartesius, maka setiap titik pada lingkaran dapat dinyatakan dalam bentuk koordinat $(x,y)$ dan titik tertentu tersebut dikenal dengan nama pusat lingkaran. Ada tak berhingga banyak titik-titik yang membentuk lingkaran sehingga mustahil menuliskan koordinat semua titik tersebut, mamun matematika memiliki cara tersendiri untuk menyatakan hal yang mustahil tersebut yaitu dengan persamaan lingkaran.

Persamaan Lingkaran
Misalkan titik pusat lingkaran adalah $O(a,b)$ dengan panjang jari-jari $r$. Salah satu titik pada lingkaran adalah $A(x,y)$.
Konsep Persamaan Lingkaran
Dimanapun letak titik A, asalkan tetap berada pada lingkaran maka jarak antara titik $A$ tersebut dan pusat lingkaran O akan tetap sebesar $r$. Dengan menggunakan rumus pythagoras pada segitiga OAB diperoleh $$OB^2 + AB^2 = OA^2$$ Pada segitiga $OAB$ di atas, panjang $OA$ = jari-jari lingkaran, panjang $OB$ = $|x_1 - a|$ dan panjang $AB = |y_1-b|$. Dengan mensubstitusikan ketiga panjang sisi tersebut ke persamaan diperoleh persamaan $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$

Persamaan lingkaran dengan pusat $(a,b)$ dan panjang jari-jari $r$ adalah $$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$$

Andaikan pusatnya dibuat menjadi $(0,0)$, maka $a=0$ dan $b=0$. Dengan demikian diperoleh persamaan yang lebih sederhana yaitu persamaan lingkaran dengan pusat $(0,0)$

Persamaan lingkaran dengan pusat $(0,0)$ dan panjang jari-jari $r$ adalah $$x^2 + y^2 = r^2$$

Contoh 1: Tentukan persamaan lingkaran yang pusatnya di titik $(-1,5)$ dan panjang jari-jari $3$
Penyelesaian: Pusat lingkarannya adalah $(-1,5)$ maka $a=-1$ dan $b=5$. Panjang jari-jari $3$ maka $r=3$. Dengan mensubstitusikan nilai-nilai tersebut ke persamaan lingkaran dengan pusat $(a,b)$ diperoleh $(x-(-1))^2 + (y-5)^2 = 3^2$. Jadi persamaan lingkaran yang diminta adalah $$(x+1)^2 + (y-5)^2 = 9$$Contoh 2: Tentukan persamaan lingkaran jika $P(-1,2)$ dan $Q(7,6)$ adalah ujung-ujung salah satu diameternya
Penyelesaian: Karena $PQ$ adalah diameter lingkaran maka titik tengah $PQ$ merupakan titik pusat lingkaran. Untuk menentukan titik tengah tersebut dapat dilakukan dengan cara $\dfrac{P+Q}{2}$. Dengan cara tersebut diperoleh pusatnya yaitu $$\frac{(-1,2)+(7,8)}{2}=\dfrac{(6,10)}{2}=(3,5)$$ Dengan menggunakan rumus jarak antar dua titik dapat diperoleh panjang diameternya yaitu $$d=\sqrt{(-1-7)^2+(2-8)^2}=10$$ Jadi panjang jari-jarinya adalah $r=5$. Dengan demikian didapatkan persamaan lingkaran tersebut adalah $$(x-3)^2+(y-5)^2=25$$
Bentuk Umum Persamaan Lingkaran
Telah diketahui bahwa lingkaran merupakan salah satu irisan kerucut. Karena hal tersebut persamaan lingkaran merupakan salah satu "keluarga" persamaan irisan kerucut. Bentuk umum persamaan lingkaran diperoleh dari penjabaran persamaan lingkaran dengan pusat $(a,b)$
\begin{split}
& (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\\
\Rightarrow & x^2-2ax+a^2 + y^2-2bx+b^2 = r^2\\
\Rightarrow & x^2+y^2-2ax-2by+a^2+b^2-r^2=0
\end{split}
Misalkan $-2a=A$, $-2b=B$ dan $a^2+b^2-r^2=C$, maka persamaan di atas akan menjadi bentuk umum persamaan lingkaran.

Bentuk umum persamaan lingkaran adalah $$x^2+y^2+Ax+By+C=0$$ Dengan Pusat $\left(-\dfrac{A}{2} , -\dfrac{B}{2}\right)$ dan panjang jari-jari $r=\sqrt{\dfrac{A^2}{4} + \dfrac{B^2}{4} - C}$

Contoh 3: Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran dengan persamaan $2x^2+2y^2-4x+8y-6=0$.
Penyelesaian: Persamaan lingkaran tersebut bukan dalam bentuk umum karena koefisien $x^2$ dan $y^2$ tidak sama dengan 1. Oleh karena itu terlebih dahulu kedua ruas persamaan dibagi dengan 2 sehingga diperoleh bentuk umum persamaan lingkaran yaitu $$x^2+y^2-2x+4y-3=0$$ Dari persamaan di atas dapat diketahui
  • $A=-2$
  • $B=4$
  • $C=-3$
Dengan nilai $A$, $B$ dan $C$ dapat diketahui pusatnya $\left(\dfrac{-2}{2},\dfrac{4}{2}\right)=(-1,2)$ dan panjang jari-jarinya adalah $r=\sqrt{\left(\dfrac{-2}{2}\right)^2+\left(\dfrac{4}{2}\right)^2-(-3)}=\sqrt{8}$


Kedudukan titik terhadap lingkaran
Kedudukan titik terhadap lingkaran berarti posisi yang mungkin dari sebuah titik terhadap suatu lingkaran. Ada tiga kemungkinan kedudukan suatu titik terhadap lingkaran, yaitu titik berada di dalam lingkaran, titik berada pada lingkaran atau titik berada di luar lingkaran
Kedudukan Titik dan Lingkaran
Pada gambar di atas, terdapat tiga titik yaitu C, D dan E. Dengan membandingkan jarak titik-titik tersebut ke pusat lingkaran dan panjang jari-jari lingkaran akan diperoleh kriteria kedudukan titik terhadap lingkaran
  • Titik C terletak di dalam lingkaran maka jarak antara titik O ke C akan lebih pendek dari panjang jari-jari lingkaran
  • Titik D tepat berada pada lingkaran maka jarak O ke D akan sama dengan panjang jari-jari lingkaran
  • Titik E terletak di luar lingkaran maka jarak O ke E akan lebih besar dari panjang jari-jari lingkaran
Dengan demikian $$OC < r \text{ dan } OD = r \text{ dan } OE > r$$ M di atas akan diperoleh

menggunakan rumus jarak antara dua titik dan ketiga fakta di atas dapat disumpulkan tiga macam kedudukan sebuah titik $(x_1,y_1)$ terhadap lingkaran dengan persamaan $(x-a)^2 + (y-b)^2 < r^2$
  • terletak di dalam lingkaran jika $(x_1-a)^2 + (y_1-b)^2 < r^2$
  • terletak pada lingkaran jika $(x_1-a)^2 + (y_1-b)^2 = r^2$
  • terletak di luar lingkaran jika $(x_1-a)^2 + (y_1-b)^2 > r^2$
Jika persamaan lingkaran dengan bentuk umum maka
  • terletak di dalam lingkaran jika $x^2+y^2+Ax+By+C < 0$
  • terletak pada lingkaran jika $x^2+y^2+Ax+By+C = 0$
  • terletak di luar lingkaran jika $x^2+y^2+Ax+By+C > 0$
Contoh 4: Titik $A(5,p)$ terletak pada lingkaran dengan persamaan $x^2+y^2-4x-6y+3=0$. Tentukan nilai $p$!
Penyelesaian: Titik tersebut terletak pada lingkaran, maka \begin{split} & 5^2+p^2-4\cdot 5-6p+3=0\\ \Rightarrow & p^2-6p+8=0\\ \Rightarrow & (p-2)(p-4)=0\\ \Rightarrow & p=2\text{ atau }p=4 \end{split}
Kedudukan garis dan lingkaran
Sebuah garis dapat memotong lingkaran di dua titik, di satu titik, atau sama sekali tidak memiliki titik potong dengan lingkaran. Garis akan memotong lingkaran di dua titik terjadi jika jarak antara garis dan pusat lingkaran kurang dari panjang jari-jari. Garis akan memotong lingkaran tepat di satu titik atau kadang-kadang juga disebut dengan garis menyinggung lingkaran jika jarak antara garis dan pusat lingkaran sama dengan panjang jari-jarinya. Garis sama sekali tidak memotong lingkaran terjadi jika jarak antara garis dan pusat lingkaran lebih dari panjang jari-jarinya.
Kedudukan Garis dan Lingkaran
Selain dengan jarak pusat lingkaran terhadap garis, kita juga dapat menentukan kedudukan garis dan lingkaran tersebut dengan menggunakan Diskriminan asalkan persamaan garis dan lingkaran diketahui. Dengan menuliskan persamaan garis dalam $y=mx+n$ atau $x=ay+b$, kemudian mensubstitusikannya ke persamaan lingkaran akan diperoleh persamaan kuadrat dalam $x$ atau $y$. Diskriminan persamaan kuadrat tersebut akan menentukan kedudukan garis terhadap lingkaran
  • Garis memotong lingkaran di dua titik jika Diskriminan > 0
  • Garis memotong lingkaran di satu titik atau bersinggungan jika Diskriminan = 0
  • Garis tidak memotong lingkaran dan tidak menyinggung lingkaran jika Diskriminan < 0
Contoh 5: Tentukan kedudukan garis $x-3y=1$ terhadap lingkaran $x^2+y^2+5x-7y+9=0$.
Penyelesaian: Ubah persamaan garis menjadi $x=3y+1$ kemudian substitusikan ke persamaan lingkaran \begin{split} & x^2+y^2+5x-7y+9=0\\ \Rightarrow & (3y+1)^2+y^2+5(3y+1)-7y+9=0\\ \Rightarrow & 10y^2+14y+15=0 \end{split} Diskriminan dari persamaan di atas adalah $D=14^2-4\cdot 10 \cdot 15=-404$. Karena diskriminannya negatif, maka garis tersebut tidak memotong dan tidak menyinggung lingkaran.

Contoh 6: Tentukan titik potong antara garis $-2x+y=5$ dan lingkaran $(x+1)^2+(y-3)^2=5$.
Penyelesaian: Tuliskan persamaan garis menjadi $y=2x+5$ kemudian substitusikan ke persamaan lingkaran
\begin{split}
& (x+1)^2+(y-3)^2=5\\
\Rightarrow & (x+1)^2+(2x+5-3)^2=5\\
\Rightarrow & (x+1)^2+(2x+2)^2=5\\
\Rightarrow & 5x^2+10x+5=5\\
\Rightarrow & 5x^2+10x=0\\
\Rightarrow & x^2+2x=0\\
\Rightarrow & x(x+2)=0\\
\Rightarrow & x=0 \text{ atau }x=-2
\end{split}Jika $x=0$ maka $y=2\cdot 0+5=5$ dan jika $x=-2$ maka $y=2\cdot 2+5=9$. Jadi titik potong antara garis dan lingkaran adalah $(0,5)$ dan $(-2,9)$

Click to comment