Type something and hit enter

author photo
By On
Dalam matematika irisan kerucut merupakan kurva yang didapatkan dari hasil perpotongan antara kerucut dan bidang datar. Hasil perpotongan ini ada bermacam-macam tergantung dari "kemiringan" bidang datar terhadap kerucut. Secara umum ada tiga jenis kurva yang dihasilkan dari perpotongan ini yaitu Elips, Parabola, dan Hiperbola.

Kerucut yang dimaksud disini adalah dua kerucut yang "tidak memiliki isi" dan memiliki sebuah titik sudut yang beririsan satu sama lain. Berikut ilustrasinya

Irisan Kerucut
Misalkan pada kerucut di atas diiris oleh bidang datar maka akan terbentuk irisan-irisan berupa kurva lengkung. Berikut ini adalah kemungkinan-kemungkinan hasil irisan kerucut dan bidang datar
  1. Jika bidang iris tegak terhadap garis sumbu kerucut maka akan terbentuk irisan yang berupa kurva lingkaran
    irisan kerucut lingkaran
  2. Jika bidang iris dimiringkan sedikit terhadap garis sumbu kerucut namun tidak sampai sejajar dengan garis pelukis akan terbentuk irisan yang disebut kurva elips
    irisan kerucut elips
  3. Jika bidang iris dimiringkan lagi sehingga sejajar dengan garis pelukis kerucut akan terbentuk irisan berupa kurva yang disebut dengan kurva parabola
    irisan kerucut parabola
  4. Jika bidang iris dimiringkan kembali sehingga kemiringannya melebihi kemiringan garis pelukis sampai sejajar dengan garis sumbu kerucut akan terbentuk irisan berupa kurva yang disebut dengan kurva hiperbola
    irisan kerucut hiperbola

Eksentristias
Eksentrisitas merupakan parameter dari setiap persamaan irisan kerucut. Eksentrisitas menyatakan seberapa jauh bentuk irisan kerucut "menyimpang" dari lingkaran.

Misalkan kerucut dipotong tegak dengan bidang potongnya melalui garis sumbu, maka akan terbentuk irisan kerucut yang berbentuk huruf "X" seperti gambar di bawah ini
eksentrisitas irisan kerucut
Pada gambar di atas terdapat sudut $\alpha$ yang merupakan sudut antara bidang datar dan bidang yang tegak garis sumbu dan sudut $\beta$ yang merupakan sudut antara bidang garis pelukis kerucut dengan bidang yang tegak garis sumbu. Dari kedua sudut ini didefinisikan eksentrisitas $e$ yaitu $$e=\frac{\sin \alpha}{\sin \beta}$$ dengan $0 \leq \alpha \leq 90^{\circ}$ dan $0 \leq \beta \leq 90^{\circ}$
  1. Jika bidang potong tegak lurus sumbu kerucut maka akan terbentuk lingkaran dan sudut $\alpha=0^{\circ}$. Akibatnya $e=\frac{\sin 0}{\sin \beta}=0$. Jadi eksentrisitas dari lingkaran adalah 0.
  2. Jika yang terbentuk adalah elips maka $\alpha < \beta$. Akibatnya $0 < \frac{\sin \alpha}{\sin \beta} < 1$ atau $0 < e < 1$. Jadi eksentrisitas elips terletak di antara 0 dan 1.
  3. Jika yang terbentuk adalah parabola maka $\alpha = \beta$. Akibatnya $e=\frac{\sin \beta}{\sin \beta}=1$. Jadi eksentrisitas parabola sama dengan 1.
  4. Jika yang terbentuk adalah hiperbola maka $\alpha < \beta$. Akibatnya $e=\frac{\sin 0}{\sin \beta} > 1$, tetapi karena $\sin \beta \neq 0$ maka $e < \infty$. Jadi eksentrisitas hiperbola lebih dari 1 dan kurang dari $\infty$

Persamaan Kurva Irisan Kerucut
Andaikan bidang datar yang memotong kerucut tersebut merupakan bidang kartesius, maka kurva-kurva irisan kerucut tersebut juga akan terletak di bidang kartesius tersebut. Akibatnya setiap titik pada kurva irisan kerucut tersebut dapat dinyatakan dengan pasangan berurutan $(x,y)$.
irisan kerucut lingkaran
kurva lingkaran
irisan kerucut elips
kurva elips
irisan kerucut parabola
kurva parabola
irisan kerucut hiperbola
kurva hiperbola
Setiap pasangan $(x,y)$ pada kurva irisan kerucut dapat dinyatakan dengan menggunakan persamaan irisan kerucut secara umum yaitu $$Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$$ dengan catatan tidak semua $A$, $B$ dan $C$ bernilai $0$.

Diskriminan Persamaan Irisan Kerucut
  1. Jika $B^2-4AC < 0$ dan $A=C$ maka irisan kerucut tersebut berbentuk lingkaran
  2. Jika $B^2-4AC < 0$ dan $A\neq C$ maka irisan kerucut tersebut berbentuk elips
  3. Jika $B^2-4AC = 0$ maka irisan kerucut tersebut berbentuk parabola
  4. Jika $B^2-4AC > 0$ maka irisan kerucut tersebut berbentuk hiperbola

Click to comment