Type something and hit enter

author photo
By On
Salah satu penerapan integral adalah dapat digunakan untuk menghitung luas daerah di bawah kurva. Jika fungsi integran cukup sulit diintegralkan dengan cara biasa, penyelesaiannya dapat dilakukan dengan teknik pengintegralan yang lainnya. Salah satu teknik pengintegralan yang ada adalah teknik integral substitusi. Dengan integral substitusi, variabel pengintegralan dapat diubah ke dalam variabel lain atau bisa juga fungsi integran yang disubstitsikan menjadi variabel lain. Namun ada satu permasalahan integral yang agak aneh untuk diselesaikan dengan integral substitusi yaitu $$\int_{-2}^2 \sqrt{1+x^2}\ dx$$ Integral di atas menyatakan luas daerah di bawah kurva $y=\sqrt{1+x^2}$ pada interval $-2 \leq x \leq 2$ yang diilustrasikan seperti pada gambar di bawah ini
Integral Substitusi yang Aneh
Pada gambar di atas luas daerah berwarna gelap dinyatakan dengan integral tersebut.

Sekarang akan kita coba hitung luas daerahnya menggunakan integral substitusi $u=1+x^2$. Dengan substitusi tersebut variabel integral bukan lagi $x$ tapi $u$. Tidak ada lagi $dx$, sudah terganti dengan $du$. Batas-batas integralnya juga bukan $x=-2$ dan $x=2$ lagi. Batas-batas integralnya menjadi \begin{split} x=2 & \Rightarrow u=1+x^2\\ & \Rightarrow u=1+2^2\\ & \Rightarrow u=5 \end{split} dan \begin{split} x=-2 & \Rightarrow u=1+x^2\\ & \Rightarrow u=1+(-2)^2\\ & \Rightarrow u=5 \end{split} Sehingga $$\int_{-2}^2 \sqrt{1+x^2}\ dx = \int_5^5 g(u)\ du$$ Integral di ruas kanan pada persamaan di atas memiliki batas atas dan batas bawah yang sama yang berakibat $$\int_{-2}^2 \sqrt{1+x^2}\ dx=0$$ Pada sketsa jelas terlihat adanya daerah yang luasnya tidak mungkin 0. Jadi apa yang salah ?

Solusi

Sebelum solusinya ditemukan, terlebih dahulu kita cari fungsi $g(u)$ hasil substitusi $u=1+x^2$. Turunkan kedua ruas $u=1+x^2$ terhadap $x$ akan memberikan \begin{split} & \dfrac{du}{dx}=2x\\ \Rightarrow & du=2x\ dx\\ \Rightarrow & dx=\dfrac{du}{2x} \end{split} Jadi integral tersebut akan menjadi $$\int \sqrt{1+x^2}\ dx = \int \sqrt{u} \dfrac{du}{2x}$$ Karena $u=1+x^2 \Rightarrow x=\pm \sqrt{u-1}$ maka integral di atas akan menjadi \begin{split} \int \sqrt{1+x^2}\ dx & = \int \sqrt{u} \dfrac{du}{2x}\\ & = \int \dfrac{\sqrt{u}}{\pm 2\sqrt{u-1}}\ du \end{split} Karena tanda integran di atas adalah positif dan negatif, maka integral dibuat jadi dua bagian. Pada interval $-2 \leq x \leq 0$, $x$ bertanda negatif akibatnya $x=-\sqrt{u-1}$. Pada interval $0 \leq x \leq 2$, $x$ bertanda positif akibatnya $x=\sqrt{u-1}$. Jadi integral di atas akan menjadi
\begin{split} & \int_{-2}^2 \sqrt{1+x^2}\ dx\\ = & \int_{-2}^0 \sqrt{1+x^2}\ dx + \int_{0}^2 \sqrt{1+x^2}\ dx\\ = & \int_{5}^{1+0^2} \dfrac{\sqrt{u}}{-2\sqrt{u-1}}\ du + \int_{1+0^2}^5 \dfrac{\sqrt{u}}{2\sqrt{u-1}}\ du\\ = & -\int_{5}^{1} \dfrac{\sqrt{u}}{2\sqrt{u-1}}\ du + \int_{1}^5 \dfrac{\sqrt{u}}{2\sqrt{u-1}}\ du\\ = & \int_{1}^{5} \dfrac{\sqrt{u}}{2\sqrt{u-1}}\ du + \int_{1}^5 \dfrac{\sqrt{u}}{2\sqrt{u-1}}\ du\\ = & 2\int_{1}^{5} \dfrac{\sqrt{u}}{2\sqrt{u-1}}\ du \end{split}
Walaupun permasalahannya menjadi semakin rumit, tapi alasan mengapa daerah yang jelas ada tapi luasnya 0 sudah diketahui penyebabnya. Nah, seharusnya bagaimana menentukan luasnya ?

2 komentar

avatar

waahhh... jempol nih ilmunya....

tapi itu (u-1) atau (1-u).... hehehehe koreksi dikit aja sih,

tapi bagus bagus. saya suka banget.

Click to comment