Type something and hit enter

author photo
By On
Soal #1
Jika A, B memenuhi sistem $\begin{cases}\dfrac{2A}{A-2B}-\dfrac{6B}{A+2B}=3\\ -\dfrac{A}{A-2B}+\dfrac{6B}{A+2B}=-1 \end{cases}$, maka $\dfrac{AB}{A^2-4B^2}=$ ...

Pembahasan
Misalkan $\dfrac{A}{A-2B}=M$ dan $\dfrac{B}{A+2B}=N$ maka sistem di atas dapat ditulis kembali menjadi \begin{split} 2M-6B & =3\\ -M+6B & = -1 \end{split} Dengan menyelesaikan sistem di atas diperoleh $M =2$ dan $N= \dfrac{1}{6}$. Jadi \begin{split} & \dfrac{AB}{A^2-4B^2}\\ = & \dfrac{A}{A-2B}\cdot \dfrac{B}{A+2B}\\ = & M\cdot N\\ = & 2\cdot \dfrac{1}{6}\\ = & \dfrac{1}{3} \end{split}
Soal #2
Seorang pelajar berencana untuk menabung di koperasi yang keuntungannya dihitung setiap semester. Apabila jumlah tabungannya menjadi dua kali lipat dalam 5 tahun, maka besar tingkat suku bunga per tahun adalah ...

Pembahasan
Misalkan tabungan awalnya = M, suku bunga yang didapat sebesar b, maka setelah 5 tahun (10 semester) tabungannya menjadi M(1 + b)10. Tetapi karena setelah 5 tahun tabungannya menjadi dua kali lipat maka diperoleh persamaan \begin{split} & M(1+b)^{10}=2M\\ \Rightarrow & (1+b)^{10}=2\\ \Rightarrow & 1+b=\sqrt[10]{2}\\ \Rightarrow & b=\sqrt[10]{2}-1 \end{split} Jadi besar tingkat suku bunga per tahun adalah 2b = $2(\sqrt[10]{2}-1)$
Soal #3
Himpunan S beranggotakan semua bilangan bulat tak negatif x yang memenuhi $\dfrac{x^2-2ax+a^2}{(x+1)(x-4)} < 0$. Berapakah nilai a sehingga hasil penjumlahan semua anggota S minimum ?

Pembahasan
\begin{split} & \dfrac{x^2-2ax+a^2}{(x+1)(x-4)} < 0\\ \Rightarrow & \dfrac{(x-a)^2}{(x+1)(x-4)} < 0\\ \Rightarrow & -1 < x < 4 \end{split} Sehingga S = {0,1,2,3}. hasil penjumlahan semua anggota S minimum maka anggota terbesar S harus tidak ikut serta yaitu 3. Agar 3 tidak menjadi anggota S, maka haruslah a = 3.
Soal #4
Vektor a dan b membentuk sudut tumpul α dengan sin α = $\dfrac{1}{7}$. Jika |a| = $\sqrt{5}$ dan |b| = $\sqrt{7}$ dan b = a + c maka a⋅c = ...

Pembahasan
Dengan menggunakan identitas sin2α + cos2α = 1 dan sin α = $\dfrac{1}{7}$ diperoleh cos2α = $\pm \dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}}$. Karena α sudut tumpul maka cos α = $-\dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}}$. \begin{split} & b = a + c\\ \Rightarrow & c = b-a\\ \Rightarrow & c\cdot c = (b-a)\cdot (b-a)\\ \Rightarrow & |c|^2 = b\cdot b - 2b\cdot a+a\cdot a\\ \Rightarrow & |c|^2 = |b|^2 - 2|b||a|\cos \alpha+|a|^2\\ \Rightarrow & |c|^2 = 7 - 2\sqrt{7}\sqrt{5}\left(-\dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}}\right)+5\\ \Rightarrow & |c|^2 = 12 + 2\sqrt{30} \end{split} Kemudian \begin{split} & b = a + c\\ \Rightarrow & b\cdot b = (a+c)\cdot (a+c)\\ \Rightarrow & |b|^2 = a\cdot a + 2a\cdot c+c\cdot c\\ \Rightarrow & |b|^2 = |a|^2 + 2a\cdot c+|c|^2\\ \Rightarrow & 7 = 5 + 2a\cdot c+12 + 2\sqrt{30}\\ \Rightarrow & 7 = 17 + 2\sqrt{30} + 2a\cdot c\\ \Rightarrow & -10-2\sqrt{30} = 2a\cdot c\\ \Rightarrow & a\cdot c = -5-\sqrt{30} \end{split}
Soal #5
Jika 0 < x < π/2 dan 3tan2x + tan x = 3, maka nilai cos2x − sin2x yang mungkin adalah ...

Pembahasan
\begin{split} & 3\tan^2 x+\tan x = 3\\ \Rightarrow & 3\dfrac{\sin^2 x}{\cos^2 x}+\dfrac{\sin x}{\cos x}=3\\ \Rightarrow & 3\sin^2 x + \sin x \cos x = 3\cos^2 x\\ \Rightarrow & \sin x \cos x = 3\cos^2 x - 3\sin^2 x\\ \Rightarrow & \frac{1}{2}(2\sin x \cos x) = 3(\cos^2 x - \sin^2 x)\\ \Rightarrow & \frac{1}{2}(\sin 2x) = 3\cos 2x\\ \Rightarrow & \frac{\sin 2x}{\cos 2x} = 6\\ \Rightarrow & \tan 2x = 6 \end{split}
Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Kode 166 Matematika Saintek
Dari sketsa di atas dapat diperoleh nilai cos2x − sin2x = cos 2x = $\dfrac{1}{\sqrt{37}}$

Referensi: Rumus Jumlah dan Selisih Sudut
Part 1: nomer 1 - 5
Part 2: nomer 6 - 10
Part 3: nomer 11 - 15

Click to comment