Type something and hit enter

author photo
By On
Soal #11
$\lim\limits_{x \to \infty} x \sec \left(\dfrac{1}{x}\right)\left(1- \cos \dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)=$ ...

Pembahasan
Misalkan $y=\dfrac{1}{x}$ maka \begin{split} & \lim\limits_{x \to \infty} x \sec \left(\dfrac{1}{x}\right)\left(1- \cos \dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)\\ = & \lim\limits_{y \to 0} \dfrac{1}{y} \sec (y) (1- \cos \sqrt{y} )\\ = & \lim\limits_{y \to 0} \dfrac{1- \cos \sqrt{y}}{y} \dfrac{1}{\cos y} \\ = & \lim\limits_{y \to 0} \dfrac{1- \cos \sqrt{y}}{y} \dfrac{1}{\cos y} \\ = & \lim\limits_{y \to 0} \dfrac{1- \left(1-2\sin^2 \frac{1}{2}\sqrt{y}\right)}{y} \dfrac{1}{\cos y} \\ = & \lim\limits_{y \to 0} \dfrac{2\sin^2 \frac{1}{2} \sqrt{y}}{y} \dfrac{1}{\cos y} \\ = & \lim\limits_{y \to 0} 2\dfrac{\sin \frac{1}{2} \sqrt{y}}{\sqrt{y}} \dfrac{\sin \frac{1}{2}\sqrt{y}}{\sqrt{y}} \dfrac{1}{\cos y} \\ = & 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 \\ = & \frac{1}{2} \end{split}
Soal #12
Jika fungsi $f(x)=\dfrac{x^2+bx-2}{ax^2-x-3}$ mempunyai satu asimtot tegak dan satu asimtot datar $y = \dfrac{1}{2}$, maka $a+b$ adalah ...

Pembahasan
$f(x)$ mempunyai satu asimtot datar $y = \dfrac{1}{2}$ maka \begin{split} & \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{x^2+bx-2}{ax^2-x-3} = \dfrac{1}{2}\\ \Rightarrow & \lim_{x \to \infty} \dfrac{x^2+bx-2}{ax^2-x-3} \times \dfrac{\frac{1}{x^2}}{\frac{1}{x^2}} = \dfrac{1}{2}\\ \Rightarrow & \lim_{x \to \infty} \dfrac{1+\frac{b}{x}-\frac{2}{x^2}}{a-\frac{1}{x}-\frac{3}{x^2}}= \dfrac{1}{2}\\ \Rightarrow & \lim_{x \to \infty} \dfrac{1+\frac{b}{x}-\frac{2}{x^2}}{a-\frac{1}{x}-\frac{3}{x^2}}= \dfrac{1}{2}\\ \Rightarrow & \dfrac{1+0-0}{a-0-0}=\dfrac{1}{2}\\ \Rightarrow & a = 2 \end{split} Oleh karena itu \begin{split} f(x) & =\dfrac{x^2+bx-2}{2x^2-x-3}\\ & =\dfrac{x^2+bx-2}{(2x-3)(x+1)} \end{split} $f(x)$ mempunyai satu asimtot tegak maka terdapat hanya satu pembuat nol pada penyebutnya, dengan kata lain salah faktor penyebut bisa dicoret.

Misalkan faktor $(2x-3)$ yang dicoret, maka $x^2+bx-2$ juga akan memiliki faktor $(2x-3)$. Dengan mensubsitusikan $x=\dfrac{3}{2}$ ke persamaan $x^2+bx-2=0$ diperoleh $b=-\dfrac{1}{6}$. Dalam hal ini nilai $a+b$ bukan bilangan bulat (tidak ada di pilihan jawaban).

Misalkan faktor $(x+1)$ yang dicoret, maka $x^2+bx-2$ juga akan memiliki faktor $(x+1)$. Dengan mensubsitusikan $x=-1$ ke persamaan $x^2+bx-2=0$ diperoleh $b=-1$. Jadi $a+b=2-1=1$
Soal #13
Misalkan $f(x)=\sin(\sin(\sin x^2))$

Pembahasan
$f'(x)=\cos(\sin(\sin x^2))\cdot \cos(\sin x^2)\cdot \cos x^2 \cdot 2x$
Jadi
\begin{split} f'\left( \sqrt{\dfrac{\pi}{2}} \right) & =\cos \left(\sin \left(\sin \dfrac{\pi}{2} \right)\right)\cdot \cos \left(\sin \dfrac{\pi}{2}\right)\cdot \cos \dfrac{\pi}{2} \cdot 2\sqrt{\dfrac{\pi}{2}}\\ & =\cos \left(\sin \left(1 \right)\right)\cdot \cos \left(1\right)\cdot 0 \cdot 2\sqrt{\dfrac{\pi}{2}}\\ & =0 \end{split}

Soal #14
Garis singgung dari kurva $y=\dfrac{x}{2-2x}$ yang melalui (1,−1) adalah ...

Pembahasan
Sembarang garis yang melalui (1,−1) memiliki persamaan \begin{split} & y+1=m(x-1)\\ \Rightarrow & y=mx-m-1 \end{split} Substitusikan persamaan $y=mx-m-1$ ke persamaan $y=\dfrac{x}{2-2x}$ diperoleh \begin{split} & mx-m-1 = \dfrac{x}{2-2x}\\ \Rightarrow & mx-(m+1) = \dfrac{x}{2-2x}\\ \Rightarrow & (mx-(m+1))(2-2x) = x\\ \Rightarrow & -2mx^2 + 2(m+1)x+2mx - 2(m+1) = x\\ \Rightarrow & -2mx^2 + (4m+2)x-2(m+1)=x\\ \Rightarrow & -2mx^2 + (4m+1)x-2(m+1)=0 \end{split} Karena garis dan kurva bersinggungan maka diskriminan persamaan kuadrat di atas sama dengan 0 \begin{split} & (4m+1)^2-4(-2m)(-2(m+1))=0\\ \Rightarrow & (16m^2+8m+1)+8m(-2m-2)=0\\ \Rightarrow & 16m^2+8m+1-16m^2-16m=0\\ \Rightarrow & -8m+1=0\\ \Rightarrow & m=\frac{1}{8} \end{split} Jadi persamaan garis singgungnya adalah \begin{split} & y=\dfrac{1}{8}x-\dfrac{1}{8}-1\\ \Rightarrow & 8y=x-1-8\\ \Rightarrow & x-8y-9=0 \end{split}

Soal #15
Di dalam kotak I terdapat 12 bola putih dan 3 bola merah. Di dalam kotak II terdapat 4 bola putih dan 4 bola merah. Jika dari kotak I dan kotak II masing-masing diambil 2 bola satu per satu dengan pengembalian, maka peluang yang terambil 1 bola merah adalah ...

Pembahasan
Kemungkinan terambil 1 bola merah yaitu
a) dari kotak I terambil satu merah satu putih dan dari kotak II terambil keduanya putih
b) dari kotak I terambil keduanya putih dan dari kotak II terambil satu merah satu putih

Kasus pertama
dari kotak I terambil satu merah satu putih, peluangnya adalah $2\cdot \dfrac{3}{15}\cdot\dfrac{12}{15}=\dfrac{8}{25}$ (perkalian dengan 2 karena urutan bisa putih dulu kemudian merah atau merah dulu baru putih)
dari kotak II terambil keduanya putih, peluangnya adalah $\dfrac{4}{8}\cdot\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{4}$
sehingga peluang terjadinya kasus pertama adalah $\dfrac{8}{25} \cdot \dfrac{1}{4}= \dfrac{2}{25}$

Kasus kedua
dari kotak I terambil keduanya putih, peluangnya adalah $\dfrac{12}{15}\cdot \dfrac{12}{15}=\dfrac{16}{25}$
dari kotak II terambil satu merah satu putih, peluangnya adalah $2 \dfrac{4}{8}\cdot\dfrac{4}{8}=\dfrac{2}{4}$
sehingga peluang terjadinya kasus kedua adalah $\dfrac{16}{25} \cdot \dfrac{2}{4} = \dfrac{8}{25}$

Jadi peluang yang terambil 1 bola merah adalah $\dfrac{2}{25}+\dfrac{8}{25}=\dfrac{10}{25}=0.4$
Part 1: nomer 1 - 5
Part 2: nomer 6 - 10
Part 3: nomer 11 - 15

3 komentar

avatar

sorry, untuk nomer 12, b bukan -3
tapi b=-1

avatar

(-1)^2 + b(-1) - 2 = 0
1-b-2=0
1-b =2
-b =2-1
-b = 1
b =-1

avatar

Terima kasih atas koreksinya :)

Click to comment