Type something and hit enter

author photo
By On
Soal #11
$\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{\cot \dfrac{1}{4x}}{\csc \dfrac{1}{3x}}=\ldots$

Pembahasan
Misalkan $\dfrac{1}{x}=y$ maka \begin{split} & \lim_{x \to \infty} \dfrac{\cot \dfrac{1}{4x}}{\csc \dfrac{1}{3x}}\\ = & \lim_{y \to 0} \dfrac{\cot \dfrac{1}{4}y}{\csc \dfrac{1}{3}y}\\ = & \lim_{y \to 0} \dfrac{\sin \dfrac{1}{3}y}{\tan \dfrac{1}{4}y}\\ = & \dfrac{\dfrac{1}{3}}{\dfrac{1}{4}}\\ = & \dfrac{4}{3} \end{split}
Soal #12
Kurva $y=\dfrac{x^2+4x+a}{x^3+1}$ memotong asimtot datarnya sebanyak 2 kali jika ...

Pembahasan
Asimtot datarnya adalah $$y = \lim_{x \to \infty} \dfrac{x^2+4x+a}{x^3+1}$$ Karena derajat penyebut lebih besar dari derajat pembilang maka nilai limit di atas adalah $0$. Ini berarti asimtot datarnya adalah garis $y=0$.

Titik potong antara kurva dan asimtotnya dapat ditentukan dengan mensubsitusikan persamaan kurva $y=\dfrac{x^2+4x+a}{x^3+1}$ dan asimtot $y=0$ yakni \begin{split} & \dfrac{x^2+4x+a}{x^3+1}=0\\ \Rightarrow & x^2+4x+a=0 \end{split} Karena kurva memotong asimtot sebanyak 2 kali, maka persamaan di atas memiliki dua akar yang ditandai dengan diskriminanya lebih dari 0 \begin{split} & D > 0\\ \Rightarrow & 4^2-4\cdot 1\cdot a > 0\\ \Rightarrow & 16-4a > 0\\ \Rightarrow & -4a > -16\\ \Rightarrow & a < 4 \end{split}
Soal #13
Jika $f(x)=\cos^2(\tan x^2)$, maka $f'(x)=\ldots$

Pembahasan
Misalkan $f=\cos^2 u$, $u=\tan v$ dan $v=x^2$ maka \begin{split} f'(x) & = \dfrac{df}{dx}\\ & = \dfrac{df}{du} \cdot \dfrac{du}{dv}\cdot \dfrac{dv}{dx}\\ & = (2\cos u \cdot -\sin u) \cdot \sec^2 v \cdot 2x\\ & = (-\sin 2u)\cdot \sec^2 (x^2) \cdot 2x\\ & = (-\sin (2\tan v))\cdot \sec^2 (x^2) \cdot 2x\\ & = (-\sin (2\tan x^2))\cdot \sec^2 (x^2) \cdot 2x\\ & = -2x\sin (2\tan x^2)\cdot \sec^2 (x^2) \end{split}

Soal #14
Diketahui garis singgung $f(x)=\dfrac{x^2\sin x}{\pi}$ di titik $x=\dfrac{\pi}{2}$ berpotongan dengan garis $y=3x-\pi$ di titik $(a,b)$. Nilai $a+b=\ldots$

Pembahasan
Pertama-tama akan dicari persamaan garis singgung tersebut

Gradien garis singgung tersebut adalah nilai turunan pertama dari $f(x)$ di titik $x_1=\dfrac{\pi}{2}$ $$f'(x)=\dfrac{2x\sin x + x^2\cos x}{\pi}$$ Substitusikan $x=\dfrac{\pi}{2}$ diperoleh gradien $$m=f'\left( \dfrac{\pi}{2} \right) = 1$$ Ordinat titik singgungnya adalah $y_1 = f\left( \dfrac{\pi}{2} \right) = \dfrac{\pi}{4}$. Sehingga diperoleh persamaan garis singgungnya adalah \begin{split} & y-y_1 = m (x-x_1)\\ \Rightarrow & y-\dfrac{\pi}{4}=1\left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)\\ \Rightarrow & x-y=\dfrac{\pi}{4} \text{ ...(i)} \end{split} Garis singgung di atas berpotongan dengan $y=3x-\pi \Rightarrow 3x-y=\pi \text{ ...(ii)}$. Dari persamaan (i) dan (ii) dapat dibentuk sistem persamaan \begin{split} 3x-y & =\pi\\ x-y & =\dfrac{\pi}{4} \end{split} Dengan menyelesaikannya diperoleh nilai $x=a=\dfrac{3}{8}\pi$ dan $y=b=\dfrac{1}{8}\pi$. Jadi $a+b=\dfrac{3}{8}\pi + \dfrac{1}{8}\pi = \dfrac{1}{2}\pi$
Soal #15
Di dalam kotak I terdapat 12 bola putih dan 3 bola merah. Di dalam kotak II terdapat 4 bola putih dan 4 bola merah. Jika dari kotak I dan kotak II masing-masing diambil 2 bola satu per satu dengan pengembalian, maka peluang yang terambil 1 bola merah adalah ...

Pembahasan
Kemungkinan terambil 1 bola merah yaitu
a) dari kotak I terambil satu merah satu putih dan dari kotak II terambil keduanya putih
b) dari kotak I terambil keduanya putih dan dari kotak II terambil satu merah satu putih

Kasus pertama
dari kotak I terambil satu merah satu putih, peluangnya adalah $2\cdot \dfrac{3}{15}\cdot\dfrac{12}{15}=\dfrac{8}{25}$ (perkalian dengan 2 karena urutan bisa putih dulu kemudian merah atau merah dulu baru putih)
dari kotak II terambil keduanya putih, peluangnya adalah $\dfrac{4}{8}\cdot\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{4}$
sehingga peluang terjadinya kasus pertama adalah $\dfrac{8}{25} \cdot \dfrac{1}{4}= \dfrac{2}{25}$

Kasus kedua
dari kotak I terambil keduanya putih, peluangnya adalah $\dfrac{12}{15}\cdot \dfrac{12}{15}=\dfrac{16}{25}$
dari kotak II terambil satu merah satu putih, peluangnya adalah $2 \dfrac{4}{8}\cdot\dfrac{4}{8}=\dfrac{2}{4}$
sehingga peluang terjadinya kasus kedua adalah $\dfrac{16}{25} \cdot \dfrac{2}{4} = \dfrac{8}{25}$

Jadi peluang yang terambil 1 bola merah adalah $\dfrac{2}{25}+\dfrac{8}{25}=\dfrac{10}{25}=0.4$
Part 1: nomer 1 - 5
Part 2: nomer 6 - 10
Part 3: nomer 11 - 15

Click to comment