Type something and hit enter

author photo
By On
Soal #6
Bentuk persamaan hiperbola yang memiliki asimtot $y=4x-4$ dan $y=-4x+4$ adalah ...

Pembahasan
Karena $y=-4x+4=-4(x-1)$ dan $y=4x-4=4(x-1)$ maka persamaan kedua asimtot hiperbola tersebut dapat dinyatakan dengan $y=\pm 4(x-1)$. Dengan mengkuadratkan kedua ruasnya diperoleh persamaan $y^2 = 16(x-1)^2$ atau $16(x-1)^2 - y^2 = 0$. Jadi persamaan hiperbolanya adalah $16(x-1)^2 - y^2 = c$

Soal #7
Jika $x^3+ax^2+x-4$ dibagi $x-1$ dan $x^3-2x+b$ dibagi $x-2$ mempunyai sisa yang sama maka $a-b=\ldots$

Pembahasan
Misalkan $p(x)=x^3+ax^2+x-4$ dan $q(x)=x^3-2x+b$.

$p(x)$ dibagi $x-1$ dan $q(x)$ dibagi $x-2$ mempunyai sisa yang sama maka \begin{split} & p(1) = q(2)\\ \Rightarrow & 1+a+1-4=8-4+b\\ \Rightarrow & a-2=4+b\\ \Rightarrow & a-b=6 \end{split}

Soal #8
Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Kode 122 Matematika IPA
Diketahui suatu lingkaran kecil dengan radius $3\sqrt{2}$ melalui pusat suatu lingkaran besar dengan radius 6. Ruas garis yang menghubungkan dua titik potong lingkaran merupakan diameter dari lingkaran kecil, seperti pada gambar. Luas daerah irisan kedua lingkaran adalah ...

Pembahasan
Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Kode 122 Matematika IPA
Daerah irisan tersebut terdiri dari dua tembereng lingkaran, oleh karena itu akan dihitung satu persatu kemudian jumlahkan hasilnya.

Bagian pertama
Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Kode 122 Matematika IPA
Pada gambar di atas daerah berwarna biru merupakan tembereng lingkaran besar. Luasnya diperoleh dari Luas juring DAE dikurangi luas segitiga DAE.

Karena DE merupakan diameter lingkaran kecil maka sudut DAE adalah sudut siku-siku, sehingga luas juring DAE adalah $\dfrac{90^{\circ}}{360^{\circ}}\pi \cdot 6^2=9 \pi$ dan luas segitiga DAE adalah $\dfrac{DA\cdot EA}{2}=\dfrac{6\cdot 6}{2}=18$. Oleh karena itu luas tembereng di atas (warna biru) adalah $9\pi - 18$.

Bagian kedua
Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Kode 122 Matematika IPA
Daerah berwarna biru di atas merupakan daerah setengah lingkaran yang kecil(karena DE adalah diameter), yang luasnya $\dfrac{1}{2}\pi \cdot (3\sqrt{2})^2 = 9\pi$.

Jadi luas daerah irisan tersebut adalah $9\pi - 18 + 9\pi= 18\pi-18$

Soal #9
Jika $\int_{-4}^4 f(x)(\sin x + 1)\ dx = 8$, dengan $f(x)$ fungsi genap dan $\int_{-2}^4 f(x) dx = 4$, maka $\int_{-2}^0 f(x)\ dx$ adalah ...

Pembahasan
\begin{split} & \int_{-4}^4 f(x)(\sin x + 1)\ dx = 8\\ \Rightarrow & \int_{-4}^4 f(x) \sin x\ dx + \int_{-4}^4 f(x)\ dx = 8 \end{split} $f(x)$ fungsi genap dan $\sin x$ fungsi ganjil maka $f(x) \sin x$ merupakan fungsi ganjil sehingga $\int_{-4}^4 f(x) \sin x\ dx=0$ dan $\int_{-4}^4 f(x)\ dx = 2 \int_{0}^4 f(x)\ dx$. Oleh karena itu \begin{split} & \int_{-4}^4 f(x) \sin x\ dx + \int_{-4}^4 f(x)\ dx = 8\\ \Rightarrow & 0 + \int_{-4}^4 f(x)\ dx = 8\\ \Rightarrow & \int_{-4}^4 f(x)\ dx = 8\\ \Rightarrow & 2 \int_{0}^4 f(x)\ dx = 8\\ \Rightarrow & \int_{0}^4 f(x)\ dx = 4\\ \Rightarrow & \int_{0}^4 f(x)\ dx = 4 \end{split} Oleh karena itu \begin{split} & \int_{-2}^4 f(x) dx = 4\\ \Rightarrow & \int_{-2}^0 f(x) dx + \int_{0}^4 f(x)\ dx = 4\\ \Rightarrow & \int_{-2}^0 f(x) dx + 4 = 4\\ \Rightarrow & \int_{-2}^0 f(x) dx = 0 \end{split}
Referensi: Fungsi Ganjil dan Genap

Soal #10
$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\tan x + x\sec x - \sin x - x}{x^3 \cos x}=\ldots$

Pembahasan
\begin{split} & \lim_{x \to 0} \dfrac{\tan x + x\sec x - \sin x - x}{x^3 \cos x}\\ = & \lim_{x \to 0} \dfrac{\dfrac{\sin x}{\cos x} + x\dfrac{1}{\cos x} - \sin x - x}{x^3 \cos x}\\ = & \lim_{x \to 0} \dfrac{\dfrac{1}{\cos x}(\sin x + x) - (\sin x + x)}{x^3 \cos x}\\ = & \lim_{x \to 0} \dfrac{(\sin x + x) \left(\dfrac{1}{\cos x} - 1\right)}{x^3 \cos x}\\ = & \lim_{x \to 0} \dfrac{(\sin x + x)}{x}\cdot \dfrac{\left(\dfrac{1}{\cos x} - 1\right)}{x^2\cos x}\cdot \dfrac{1}{\cos x}\\ = & \lim_{x \to 0} \left( \dfrac{\sin x}{x} + 1\right) \cdot \dfrac{1-\cos x}{x^2} \cdot \dfrac{1}{\cos^2 x}\\ = & \lim_{x \to 0} \left( \dfrac{\sin x}{x} + 1\right) \cdot \dfrac{1-\left(1-2\sin^2 \frac{1}{2}x\right)}{x^2}\cdot \dfrac{1}{\cos^2 x}\\ = & \lim_{x \to 0} \left( \dfrac{\sin x}{x} + 1\right) \cdot \dfrac{2\sin^2 \frac{1}{2}x}{x^2}\cdot \dfrac{1}{\cos^2 x}\\ = & \lim_{x \to 0} \left( \dfrac{\sin x}{x} + 1\right) \cdot 2\dfrac{\sin \frac{1}{2}x}{x}\cdot \dfrac{\sin \frac{1}{2}x}{x} \cdot \dfrac{1}{\cos^2 x}\\ = & (1+1)\cdot 2\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1^2}\\ = & 1 \end{split}

Part 1: nomer 1 - 5
Part 2: nomer 6 - 10
Part 3: nomer 11 - 15

Click to comment