Type something and hit enter

author photo
By On
Soal #1
Jika $m$ dan $n$ memenuhi $\begin{cases} \dfrac{1}{m^2}-\dfrac{2}{n^2}=2\\ \dfrac{3}{m^2}-\dfrac{4}{n^2}=8 \end{cases}$ maka $mn=\ldots$

Pembahasan
Misalkan $x=\dfrac{1}{m^2}$ dan $y=\dfrac{1}{n^2}$ maka sistem persamaan di atas dapat ditulis menjadi \begin{split} x-2y & = 2\\ 3x-4y & = 8 \end{split} Dengan menyelesaikan sistem persamaan tersebut diperoleh $x=4 \Rightarrow \dfrac{1}{m^2}=4$ dan $y=1 \Rightarrow \dfrac{1}{n^2}=1$. Jadi \begin{split} & \dfrac{1}{m^2} \dfrac{1}{n^2} = 4\\ \Rightarrow & \dfrac{1}{m^2n^2} = 4\\ \Rightarrow & m^2n^2 = \dfrac{1}{4}\\ \Rightarrow & mn = \pm \dfrac{1}{2} \end{split}
Soal #2
Seorang pelajar berencana untuk menabung di koperasi yang keuntungannya dihitung setiap semester. Apabila jumlah tabungannya menjadi dua kali lipat dalam 5 tahun, maka besar tingkat suku bunga per tahun adalah ...

Pembahasan
Misalkan tabungan awalnya $= M$, suku bunga yang didapat sebesar $b$, maka setelah 5 tahun (10 semester) tabungannya menjadi $M(1 + b)^{10}$. Tetapi karena setelah 5 tahun tabungannya menjadi dua kali lipat maka diperoleh persamaan \begin{split} & M(1+b)^{10}=2M\\ \Rightarrow & (1+b)^{10}=2\\ \Rightarrow & 1+b=\sqrt[10]{2}\\ \Rightarrow & b=\sqrt[10]{2}-1 \end{split} Jadi besar tingkat suku bunga per tahun adalah $2b = 2(\sqrt[10]{2}-1)$
Soal #3
Banyak bilangan bulat x yang memenuhi pertidaksamaan $\dfrac{(x+2)(x-2)}{(x+4)(x-4)} \leq 1$ adalah ...

Pembahasan
\begin{split} & \dfrac{(x+2)(x-2)}{(x+4)(x-4)} \leq 1\\ \Rightarrow & \dfrac{(x+2)(x-2)}{(x+4)(x-4)} - 1 \leq 0\\ \Rightarrow & \dfrac{(x+2)(x-2)}{(x+4)(x-4)} - \dfrac{(x+4)(x-4)}{(x+4)(x-4)} \leq 0\\ \Rightarrow & \dfrac{(x^2-4)-(x^2-16)}{(x+4)(x-4)} \leq 0\\ \Rightarrow & \dfrac{8}{(x+4)(x-4)} \leq 0\\ \Rightarrow & -4 < x < 4 \end{split}
Jadi bilangan bulat yang memenuhi adalah −3, −2, −1, 0, 1, 2 dan 3 yaitu sebanyak 7
Soal #4
Vektor $a$ dan $b$ membentuk sudut tumpul $\alpha$ dengan $\sin \alpha = \dfrac{1}{7}$. Jika $|a| = \sqrt{5}$ dan $|b| = \sqrt{7}$ dan $b = a + c$ maka $a\cdot c = \ldots$

Pembahasan
Dengan menggunakan identitas $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ dan $\sin \alpha = \dfrac{1}{7}$ diperoleh $\cos \alpha = \pm \dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}}$. Karena $\alpha$ sudut tumpul maka $\cos \alpha = -\dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}}$.
\begin{split} & b = a + c\\ \Rightarrow & c = b-a\\ \Rightarrow & c\cdot c = (b-a)\cdot (b-a)\\ \Rightarrow & |c|^2 = b\cdot b - 2b\cdot a+a\cdot a\\ \Rightarrow & |c|^2 = |b|^2 - 2|b||a|\cos \alpha+|a|^2\\ \Rightarrow & |c|^2 = 7 - 2\sqrt{7}\sqrt{5}\left(-\dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}}\right)+5\\ \Rightarrow & |c|^2 = 12 + 2\sqrt{30} \end{split} Kemudian \begin{split} & b = a + c\\ \Rightarrow & b\cdot b = (a+c)\cdot (a+c)\\ \Rightarrow & |b|^2 = a\cdot a + 2a\cdot c+c\cdot c\\ \Rightarrow & |b|^2 = |a|^2 + 2a\cdot c+|c|^2\\ \Rightarrow & 7 = 5 + 2a\cdot c+12 + 2\sqrt{30}\\ \Rightarrow & 7 = 17 + 2\sqrt{30} + 2a\cdot c\\ \Rightarrow & -10-2\sqrt{30} = 2a\cdot c\\ \Rightarrow & a\cdot c = -5-\sqrt{30} \end{split}

Soal #5
Banyaknya solusi yang memenuhi $-2\tan x \sec x - 2\tan x + 5\sin x = 0$ dengan $0 < x < \pi$ adalah ...

Pembahasan
\begin{split} & -2\tan x \sec x - 2\tan x + 5\sin x = 0\\ \Rightarrow & -2 \dfrac{\sin x}{\cos x} \dfrac{1}{\cos x} - 2\dfrac{\sin x}{\cos x} + 5\sin x = 0\\ \Rightarrow & \dfrac{-2\sin x}{\cos^2 x}-\dfrac{2\sin x}{\cos x} + 5\sin x = 0 \end{split} Misalkan $\cos x \neq 0$ atau $x \neq \dfrac{\pi}{2}$ maka kedua ruas persamaan di atas dapat dikalikan dengan $\cos^2 x$ sehingga menjadi \begin{split} & -2\sin x -2\sin x\cos x +5\sin x \cos^2 x = 0\\ \Rightarrow & \sin x(-2-2\cos x+5\cos^2 x) = 0 \end{split}
Pada interval $0 < x < \pi$, $\sin x \neq 0$ akibatnya $$5\cos^2 x - 2\cos x - 2 = 0$$ Dengan rumus ABC diperoleh $$\cos x = \dfrac{2 \pm \sqrt{44}}{10}$$ Telah diketahui fungsi range fungsi cosinus dengan domain $0 < x < \pi$ adalah $-1 \leq \cos x \leq 1$. Apakah nilai $\cos x$ di atas ada pada interval range ? Ada. Berikut buktinya

Misalkan $\cos x = \dfrac{2 + \sqrt{44}}{10}$ maka $\cos x > 0$ dan \begin{split} \cos x & = \dfrac{2 + \sqrt{44}}{10}\\ & \leq \dfrac{2 + \sqrt{49}}{10}\\ & = \dfrac{2+7}{10}\\ & = \dfrac{9}{10}\\ & \leq 1 \end{split} Ini berarti $-1 \leq \dfrac{2 + \sqrt{44}}{10} \leq 1$

Misalkan $\cos x = \dfrac{2 - \sqrt{44}}{10}$ maka $\cos x < 0$ dan \begin{split} \cos x & = \dfrac{2 - \sqrt{44}}{10}\\ & \geq \dfrac{2-\sqrt{49}}{10}\\ & = \dfrac{2-7}{10}\\ & = \dfrac{-5}{10}\\ & \geq -1 \end{split} Ini berarti $-1 \leq \dfrac{2 - \sqrt{44}}{10} \leq 1$

Jadi banyaknya solusi yang memenuhi persamaan hanya ada 2
Part 1: nomer 1 - 5
Part 2: nomer 6 - 10
Part 3: nomer 11 - 15

Click to comment