Type something and hit enter

author photo
By On
Soal #11
$\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{2x^2\tan \left( \dfrac{1}{x} \right) - x\sin \left( \dfrac{1}{x} \right) + \dfrac{1}{x}}{x\cos \left( \dfrac{2}{x} \right) }=\ldots$


Pembahasan
Misalkan $\dfrac{1}{x}=y$ maka
\begin{split}
& \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{2x^2\tan \left( \dfrac{1}{x} \right) - x\sin \left( \dfrac{1}{x} \right) + \dfrac{1}{x}}{x\cos \left( \dfrac{2}{x} \right) }\\
= & \lim\limits_{y \to 0} \dfrac{2\left( \dfrac{1}{y} \right)^2\tan y - \left( \dfrac{1}{y} \right)\sin y + y}{\left( \dfrac{1}{y} \right)\cos y }\\
= & \lim\limits_{y \to 0} \dfrac{2\left( \dfrac{1}{y} \right)^2\tan y - \left( \dfrac{1}{y} \right)\sin y + y}{\left( \dfrac{1}{y} \right)\cos y } \times \dfrac{y}{y}\\
= & \lim\limits_{y \to 0} \dfrac{2\left( \dfrac{1}{y} \right)\tan y - \sin y + y^2}{\cos y }\\
= & \lim\limits_{y \to 0} \dfrac{2\left( \dfrac{\tan y}{y} \right) - \sin y + y^2}{\cos y }\\
= & \dfrac{2\left( 1 \right) - 0 + 0^2}{\cos 0 }\\
= & \dfrac{2}{1}\\
= & 2
\end{split}

Soal #12
Grafik fungsi $f(x)=\dfrac{(x+2)^k(x^2-1)}{(x^2+x-2)(x^2+3x+2)}$. $k$ bilangan asli, mempunyai satu asimtot tegak jika $k=\ldots$

Pembahasan
\begin{split}
f(x) & = \dfrac{(x+2)^k(x^2-1)}{(x^2+x-2)(x^2+3x+2)}\\
& = \dfrac{(x+2)^k(x-1)(x+1)}{(x+2)(x-1)(x+2)(x+1)}\\
& = \dfrac{(x+2)^k}{(x+2)(x+2)}\\
& = \dfrac{(x+2)^k}{(x+2)^2}
\end{split}
Agar terdapat satu asimtot tegak maka penyebut dari $f(x)$ harus sama dengan 0 untuk suatu nilai $x$. Karena $k$ bilangan asli, maka satu-satunya nilai $k$ agar bisa terpenuhi kondisi satu asimtot adalah $k=1$.

$f(x)=\dfrac{(x+2)}{(x+2)^2}=\dfrac{1}{(x+2)}$

Soal #13
Jika $f(x)=\cos^2(\tan x^2)$, maka $f'(x)=\ldots$

Pembahasan
Misalkan $f=\cos^2 u$, $u=\tan v$ dan $v=x^2$ maka
\begin{split}
f'(x) & = \dfrac{df}{dx}\\
& = \dfrac{df}{du} \cdot \dfrac{du}{dv}\cdot \dfrac{dv}{dx}\\
& = (2\cos u \cdot -\sin u) \cdot \sec^2 v \cdot 2x\\
& = (-\sin 2u)\cdot \sec^2 (x^2) \cdot 2x\\
& = (-\sin (2\tan v))\cdot \sec^2 (x^2) \cdot 2x\\
& = (-\sin (2\tan x^2))\cdot \sec^2 (x^2) \cdot 2x\\
& = -2x\sin (2\tan x^2)\cdot \sec^2 (x^2)
\end{split}

Soal #14
Jika garis singgung dari kurva $y=\dfrac{x}{1-x}$ pada $x=a$ memotong garis $y=-x$ di titik $(b,-b)$, maka $b=\ldots$

Pembahasan
Pertama-tama akan dicari persamaan garis singgung kurva $y=\dfrac{x}{1-x}$ pada $x=a$.

Jika $x=a$ maka $y=\dfrac{a}{1-a}$. Gradien garis singgungnya adalah nilai turunan pertama $y$ di $x=a$
$$y'=\dfrac{1}{(1-x)^2}$$
Substitusikan $x=a$ diperoleh gradien $m=\dfrac{1}{(1-a)^2}$. Sehingga diperoleh persamaan garis singgungnya
\begin{split}
& y-\dfrac{a}{1-a}=\dfrac{1}{(1-a)^2}(x-a)\\
\Rightarrow & y=\dfrac{1}{(1-a)^2}(x-a)+\dfrac{a}{1-a}
\end{split}Garis singgung tersebut memotong garis $y=-x$ di titik $(b,-b)$ berarti garis singgung tersebut pasti melalui titik $(b,-b)$. Akibatnya
\begin{split}
& -b=\dfrac{1}{(1-a)^2}(b-a)+\dfrac{a}{1-a}\\
\Rightarrow & -b(1-a)^2=(b-a)+a(1-a)\\
\Rightarrow & -b(1-a)^2=b-a+a-a^2\\
\Rightarrow & -b(1-a)^2=b-a^2\\
\Rightarrow & a^2=b+b(1-a)^2\\
\Rightarrow & a^2=b(1+(1-a)^2)\\
\Rightarrow & a^2=b(a^2-2a+2)\\
\Rightarrow & b=\dfrac{a^2}{a^2-2a+2}
\end{split}
Soal #15
Di dalam kotak I terdapat 12 bola putih dan 3 bola merah. Di dalam kotak II terdapat 4 bola putih dan 4 bola merah. Jika dari kotak I dan kotak II masing-masing diambil 2 bola satu per satu dengan pengembalian, maka peluang yang terambil 1 bola merah adalah ...

Pembahasan
Kemungkinan terambil 1 bola merah yaitu
a) dari kotak I terambil satu merah satu putih dan dari kotak II terambil keduanya putih
b) dari kotak I terambil keduanya putih dan dari kotak II terambil satu merah satu putih

Kasus pertama
dari kotak I terambil satu merah satu putih, peluangnya adalah $2\cdot \dfrac{3}{15}\cdot\dfrac{12}{15}=\dfrac{8}{25}$ (perkalian dengan 2 karena urutan bisa putih dulu kemudian merah atau merah dulu baru putih)
dari kotak II terambil keduanya putih, peluangnya adalah $\dfrac{4}{8}\cdot\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{4}$
sehingga peluang terjadinya kasus pertama adalah $\dfrac{8}{25} \cdot \dfrac{1}{4}= \dfrac{2}{25}$

Kasus kedua
dari kotak I terambil keduanya putih, peluangnya adalah $\dfrac{12}{15}\cdot \dfrac{12}{15}=\dfrac{16}{25}$
dari kotak II terambil satu merah satu putih, peluangnya adalah $2 \dfrac{4}{8}\cdot\dfrac{4}{8}=\dfrac{2}{4}$
sehingga peluang terjadinya kasus kedua adalah $\dfrac{16}{25} \cdot \dfrac{2}{4} = \dfrac{8}{25}$

Jadi peluang yang terambil 1 bola merah adalah $\dfrac{2}{25}+\dfrac{8}{25}=\dfrac{10}{25}=0.4$

Part 1: nomer 1 - 5
Part 2: nomer 6 - 10
Part 3: nomer 11 - 15

2 komentar

avatar

Kak,untuk nmr 11, kenapa limitnya berubah menjadi y menuju 0 bukan tak hingga??

avatar

Karena variabel limitnya sudah diubah menjadi $y$ dengan $y=1/x$. Kalo x menuju tak hingga kan y menuju 1/takhingga = 0

Click to comment