Type something and hit enter

author photo
By On

Soal #1
Jika $x$ dan $y$ memenuhi $\begin{cases}\dfrac{2}{x+y}+\dfrac{3}{x-2y}=2 \\ \dfrac{4}{x+y}-\dfrac{1}{x-2y}=-3\end{cases}$ maka $x^2-xy-2y^2=\ldots$

Pembahasan
Misalkan $m=\dfrac{1}{x+y}$ dan $n=\dfrac{1}{x-2y}$ maka sistem persamaan di atas dapat ditulis menjadi
\begin{split}
2m+3n & = 2\\
4m-n & = -3
\end{split}
Dengan menyelesaikan sistem di atas diperoleh $m=\dfrac{1}{-2}$ dan $n=1$. Ini berarti
\begin{split}
& \dfrac{1}{x+y} = \dfrac{1}{-2} \Rightarrow x+y=-2\\
& \dfrac{1}{x-2y} = 1 \Rightarrow x-2y=1
\end{split}
Lagi dengan menyelesaikan sistem persamaan yang dibentuk oleh $x+y=-2$ dan $x-2y=1$ diperoleh $x=-1$ dan $y = -1$. Jadi
\begin{split}
& x^2-xy-2y^2\\
= & (-1)^2-(-1)(-1)-2(-1)^2\\
= & -2
\end{split}
Soal #2
Seorang pelajar berencana untuk menabung di koperasi yang keuntungannya dihitung setiap semester. Apabila jumlah tabungannya menjadi dua kali lipat dalam 5 tahun, maka besar tingkat suku bunga per tahun adalah ...

Pembahasan
Misalkan tabungan awalnya $= M$, suku bunga yang didapat sebesar $b$, maka setelah 5 tahun (10 semester) tabungannya menjadi $M(1 + b)^{10}$. Tetapi karena setelah 5 tahun tabungannya menjadi dua kali lipat maka diperoleh persamaan
\begin{split}
& M(1+b)^{10}=2M\\
\Rightarrow & (1+b)^{10}=2\\
\Rightarrow & 1+b=\sqrt[10]{2}\\
\Rightarrow & b=\sqrt[10]{2}-1
\end{split}
Jadi besar tingkat suku bunga per tahun adalah $2b = 2(\sqrt[10]{2}-1)$

Soal #3
Himpunan $S$ beranggotakan semua bilangan bulat positif $x$ yang memenuhi $\dfrac{x^2+(1-a)x-a}{(x+1)(x-4)} < 0$. Berapakan nilai $a$ sehingga $S$ mempunyai anggota paling banyak? (A) 1 (B) 3 (C) 5 (D) 7 (E) 9 Pembahasan
\begin{split}
& \dfrac{x^2+(1-a)x-a}{(x+1)(x-4)} < 0\\ \Rightarrow & \dfrac{(x-a)(x+1)}{(x+1)(x-4)} < 0\\ \Rightarrow & \dfrac{(x-a)}{(x-4)} < 0 \end{split} Jika $a > 4$ diperoleh penyelesaian $4 < x < a$ akibatnya dapat dipilih sebarang nilai $a$ yang lebih dari 4 agar diperoleh himpunan $S$ yang anggotanya paling banyak. Mungkin jika saya ikut sebagai peserta SBMPTN, saya akan memilih option E sebagai jawaban :)
Soal #4
Diberikan vektor $a$ dan $b$. Jika $|a+b|^2 = (a\cdot b)$ dan $(|a|+|b|)^2 = \dfrac{5}{2}|a||b|$, maka sudut antara vektor $a$ dan $b$ adalah ...


Pembahasan
\begin{split}
& |a+b|^2 = (a\cdot b)\\
\Rightarrow & (a+b)\cdot (a+b) = a\cdot b\\
\Rightarrow & a\cdot a + 2a\cdot b + b\cdot b = a\cdot b\\
\Rightarrow & a\cdot a + b\cdot b = -a\cdot b\\
\Rightarrow & |a|^2 + |b|^2 = -a\cdot b\text{ ...(i)}
\end{split}
Kemudian
\begin{split}
& (|a|+|b|)^2 = \dfrac{5}{2}|a||b|\\
\Rightarrow & |a|^2 + 2|a||b| + |b|^2 = \dfrac{5}{2}|a||b|\\
\Rightarrow & |a|^2 + |b|^2 = \dfrac{1}{2}|a||b|\text{ ...(ii)}
\end{split}
Dari persamaan (i) dan (ii) diperoleh sistem persamaan seperti berikut ini
\begin{split}
& |a|^2 + |b|^2 = -a\cdot b\\
& |a|^2 + |b|^2 = \dfrac{1}{2}|a||b|
\end{split}
Misalkan $\theta$ adalah sudut antara vektor $a$ dan $b$ maka dengan mengurangkan kedua persamaan di atas diperoleh
\begin{split}
& 0 = -a\cdot b - \dfrac{1}{2}|a||b|\\
\Rightarrow & a\cdot b = - \dfrac{1}{2}|a||b|\\
\Rightarrow & \dfrac{a\cdot b}{|a||b|} = - \dfrac{1}{2}\\
\Rightarrow & \cos \theta = - \dfrac{1}{2}\\
\Rightarrow & \theta = 120^{\circ}\\
\end{split}
Soal #5
Jika $2\sin x + 3\cot x - 3\csc x = 0$, dengan $0 < x < \dfrac{\pi}{2}$ maka $\sin x \cos x = \ldots$ Pembahasan
\begin{split}
& 2\sin x + 3\cot x - 3\csc x = 0\\
\Rightarrow & 2\sin x + 3\dfrac{\cos x}{\sin x} - 3\dfrac{1}{\sin x} = 0
\end{split}
Kalikan kedua ruas persamaan di atas dengan $\sin x$ diperoleh
\begin{split}
& 2\sin^2 x + 3\cos x - 3 = 0\\
\Rightarrow & 2(1-\cos^2 x) + 3\cos x - 3 = 0\\
\Rightarrow & 2-2\cos^2 x + 3\cos x - 3 = 0\\
\Rightarrow & -2\cos^2 x + 3\cos x - 1 = 0\\
\Rightarrow & 2\cos^2 x - 3\cos x + 1 = 0\\
\Rightarrow & (2\cos x -1)(\cos x - 1) = 0\\
\Rightarrow & \cos x = \dfrac{1}{2} \text{ atau } \cos x = 1
\end{split}
Karena $0 < x < \dfrac{\pi}{2}$ maka $\cos x \neq 1$. Akibatnya $\cos x = \dfrac{1}{2} \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{3} \Rightarrow \sin x = \dfrac{1}{2}\sqrt{3}$. Jadi $\sin x \cos x = \dfrac{1}{4}\sqrt{3}$

Part 1: nomer 1 - 5
Part 2: nomer 6 - 10
Part 3: nomer 11 - 15

2 komentar

avatar

Itu x=-1 dan y=-1 dari mana ya?

avatar

didapatkan dari menyelesaikan x+y=-2 dan x-2y=1 dengan cara eliminasi atau substitusi

Click to comment