Type something and hit enter

author photo
By On
Jika sebuah bilangan dibagi oleh bilangan yang lain, akan terdapat dua hasil perhitungan yang mungkin yaitu hasil pembagian dan sisa pembagian. Contohnya jika 17 dibagi 5 akan memberikan hasil 3 dan sisa 2, hubungannya dapat dituliskan sebagai $$17=5 \cdot 3 + 2$$ Bagaimana dengan $17=5 \cdot 2 + 7$ ? Apakah ini berarti 17 dibagi 5 memberikan hasil 2 dan sisa 7 ? Jika pernyataan ini benar, tentu hasil pembagian dan sisa pembagian tidak akan tunggal. Oleh karena itu ada aturan bahwa sisa pembagian harus lebih kecil dari pembagi agar hasil pembagian dan sisa pembagian tunggal.
sebuah bilangan = pembagi ⋅ hasil + sisa

Pembagian dua suku banyak

Aturan di atas dapat diterapkan pada pembagian dua suku banyak. Misalkan suku banyak $f(x)$ dibagi $p(x)$ memberikan hasil $h(x)$ dan sisa $s(x)$ maka terdapat hubungan berikut $$f(x)=p(x)h(x)+s(x)$$ dengan derajat $s(x)$ kurang dari derajat $p(x)$.

Teorema Sisa

Jika suku banyak $f(x)$ dibagi $x-c$ maka sisanya $f(c)$
Bukti:
Jika suatu suku banyak dibagi oleh suku banyak lain yang berderajat 1 maka derajat dari sisa pembagiannya kurang dari 1. Oleh karena itu sisa pembagian yang mungkin berderajat 0 yaitu sebuah konstanta. Misalkan sisa pembagian $f(x)$ dibagi $x-c$ adalah $k$, akan dibuktikan $f(c)=k$.

Telah diketahui bahwa $f(x)$ dapat dituliskan kedalam bentuk $f(x)=p(x)h(x)+s(x)$ yaitu $$f(x)=(x-c)h(x)+k$$ Substitusikan $x=c$ ke persamaan di atas diperoleh \begin{split} & f(c)=(c-c)h(c)+k\\ \Rightarrow & f(c)=0\cdot h(c)+k\\ \Rightarrow & f(c)=k \end{split} Contoh 1:
Sisa pembagian suku banyak $f(x)=3x^3-2x^2+x-4$ oleh $x-2$ adalah $$f(2)=3\cdot 2^3-2\cdot 2^2+2-4=14$$
***
Teorema sisa di atas dapat dibuat bentuk alternatif untuk koefisien $x$ dari pembagi tidak sama dengan 1, misalkan pembaginya $ax-b$.
Jika suku banyak $f(x)$ dibagi $ax-b$ maka sisanya $f\left(\dfrac{b}{a}\right)$
Bukti:
Gunakan pembuktian seperti pembuktian sebelumnya hanya saja dengan substitusi $x=\dfrac{b}{a}$

Contoh 2:
Sisa pembagian suku banyak $f(x)=4x^2-2x+1$ oleh $2x-3$ adalah $$f\left(\frac{3}{2}\right)=4\left(\frac{3}{2}\right)^2-2\left(\frac{3}{2}\right)+1=4$$

Teorema Faktor

Teorema sisa dan teorema faktor merupakan dua teorema yang berkaitan erat yakni sama-sama berkaitan dengan pembagi linear dari suatu suku banyak
Jika suku banyak $f(x)$ memiliki faktor $x-c$ maka $f(c)=0$
Bukti Jika suku banyak $f(x)$ memiliki faktor $x-c$ maka ada suku banyak $g(x)$ sedemikian sehingga $$f(x)=(x-c)g(x)$$ Substitusikan $x=c$ ke persamaan di atas diperoleh \begin{split} f(c) = & (c-c)g(c)\\ = & 0 \cdot g(c)\\ = & 0 \end{split}

Click to comment