Type something and hit enter

author photo
By On
SOAL #6
Lingkaran $x^2 + y^2 − 4x + 2y = 4$ menyinggung hiperbola $\dfrac{(x-2)^2}{a^2}-\dfrac{(y+1)^2}{b^2}=1$. Jika asimtot hiperbola tersebut mempunyai gradien 2, maka $b^2 − a^2 = ...$
JAWABAN #6
Dari persamaan lingkaran diperoleh
\begin{split}
& x^2+y^2-4x+2y=4\\
\Rightarrow & x^2-4x+4+y^2+2y+1=4+4+1\\
\Rightarrow & (x-2)^2+(y+1)^2=9\\
\Rightarrow & (x-2)^2+(y+1)^2=3^2
\end{split}Perhatikan bahwa lingkaran tersebut memiliki pusat yang sama dengan hiperbola yaitu (2,−1) dengan jari-jari 3. Karena lingkaran menyinggung hiperbola dan pusatnya sama, ini berarti lingkaran menyinggung tepat di kedua puncak hiperbola seperti diilustrasikan berikut ini
Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Kode 157 Matematika Saintek
Dari ilustrasi di atas juga dapat diketahui puncak hiperbola adalah (5,−1) dan (−1,−1). Kemudian subsitusikan salah satu puncaknya ke persamaan hiperbola, misalkan yang disubstitusikan adalah titik (5,−1) maka
\begin{split}
& \dfrac{(5-2)^2}{a^2}-\dfrac{(-1+1)^2}{b^2}=1\\
\Rightarrow & \dfrac{3^2}{a^2}-\dfrac{(0)^2}{b^2}=1\\
\Rightarrow & \dfrac{3^2}{a^2} =1\\
\Rightarrow & a^2 = 9\\
\Rightarrow & a = \pm 3
\end{split}Gradien asimtot hiperbola tersebut adalah $\dfrac{b}{a}=2 \Rightarrow \dfrac{b}{\pm 3}=2 \Rightarrow b=\pm 6$. Jadi $b^2 − a^2 = (±6)^2 − (±3)^2 = 36 − 9 = 27$

SOAL #7
Jika p(x) = (x − 1)q(x) + 1 dan q(3) = 5, maka sisa pembagian p(x) oleh (x − 1)(x − 3) adalah ...
JAWABAN #7
q(3) = 5 maka q(x) = (x − 3)r(x) + 5 untuk suatu suku banyak q(x)

Sehingga
p(x) = (x − 1)q(x) + 1
⇔ p(x) = (x − 1)((x − 3)r(x) + 5) + 1
⇔ p(x) = (x − 1)(x − 3)r(x) + 5(x − 1) + 1
⇔ p(x) = (x − 1)(x − 3)r(x) + 5(x − 1) + 1
⇔ p(x) = (x − 1)(x − 3)r(x) + 5x − 4

Jadi sisa pembagian p(x) oleh (x − 1)(x − 3) adalah 5x − 4

SOAL #8
Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Kode 168 Matematika Saintek
Diketahui suatu lingkaran kecil dengan radius $3\sqrt{2}$ melalui pusat suatu lingkaran besar dengan radius 6. Ruas garis yang menghubungkan dua titik potong lingkaran merupakan diameter dari lingkaran kecil, seperti pada gambar. Luas daerah irisan kedua lingkaran adalah ...
JAWABAN #8
Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Kode 168 Matematika Saintek
Daerah irisan tersebut terdiri dari dua tembereng lingkaran, oleh karena itu akan dihitung satu persatu kemudian jumlahkan hasilnya.

#Bagian pertama
Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Kode 168 Matematika Saintek
Pada gambar di atas daerah berwarna biru merupakan tembereng lingkaran besar. Luasnya diperoleh dari Luas juring DAE dikurangi luas segitiga DAE.

Karena DE merupakan diameter lingkaran kecil maka sudut DAE adalah sudut siku-siku, sehingga luas juring DAE adalah $\dfrac{90^{\circ}}{360^{\circ}}\pi \cdot 6^2=9 \pi$ dan luas segitiga DAE adalah $\dfrac{DA\cdot EA}{2}=\dfrac{6\cdot 6}{2}=18$. Jadi luas tembereng di atas (warna biru) adalah $9\pi - 18$.

#Bagian kedua
Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Kode 168 Matematika Saintek
Daerah berwarna biru di atas merupakan daerah setengah lingkaran yang kecil(karena DE adalah diameter), yang luasnya $\dfrac{1}{2}\pi \cdot (3\sqrt{2})^2 = 9\pi$.

#Bagian ketiga
Luas daerah irisan tersebut adalah jumlah dari hasil bagian pertama dan kedua. Jadi luas daerah irisan tersebut adalah $9\pi - 18 + 9\pi= 18\pi-18$

SOAL #9
Jika $\int_{-4}^4 f(x)(\sin x + 1)\ dx = 8$, dengan $f(x)$ fungsi genap dan $\int_{-2}^4 f(x) dx = 4$, maka $\int_{-2}^0 f(x)\ dx$ adalah ...
JAWABAN #9
\begin{split}
& \int_{-4}^4 f(x)(\sin x + 1)\ dx = 8\\
\Rightarrow & \int_{-4}^4 f(x) \sin x\ dx + \int_{-4}^4 f(x)\ dx = 8
\end{split} $f(x)$ fungsi genap dan $\sin x$ fungsi ganjil maka $f(x) \sin x$ merupakan fungsi ganjil sehingga $\int_{-4}^4 f(x) \sin x\ dx=0$ dan $\int_{-4}^4 f(x)\ dx = 2 \int_{0}^4 f(x)\ dx$. Oleh karena itu
\begin{split}
& \int_{-4}^4 f(x) \sin x\ dx + \int_{-4}^4 f(x)\ dx = 8\\
\Rightarrow & 0 + \int_{-4}^4 f(x)\ dx = 8\\
\Rightarrow & \int_{-4}^4 f(x)\ dx = 8\\
\Rightarrow & 2 \int_{0}^4 f(x)\ dx = 8\\
\Rightarrow & \int_{0}^4 f(x)\ dx = 4\\
\Rightarrow & \int_{0}^4 f(x)\ dx =
\end{split} Jadi
\begin{split}
& \int_{-2}^4 f(x) dx = 4\\
\Rightarrow & \int_{-2}^0 f(x) dx + \int_{0}^4 f(x)\ dx = 4\\
\Rightarrow & \int_{-2}^0 f(x) dx + 4 = 4\\\Rightarrow & \int_{-2}^0 f(x) dx = 0 \end{split}
Referensi: Fungsi Ganjil dan Genap

SOAL #10
$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x}{2\csc x (1-\sqrt{\cos x})}=$ ...
JAWABAN #10
\begin{split}
& \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{2\csc x (1-\sqrt{\cos x})}\\
= & \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{\dfrac{2}{\sin x} (1-\sqrt{\cos x})} \times \dfrac{(1+\sqrt{\cos x})}{(1+\sqrt{\cos x})}\\
= & \lim_{x \to 0} \dfrac{x(1+\sqrt{\cos x})}{\dfrac{2}{\sin x} (1-\cos x)}\\
= & \lim_{x \to 0} \dfrac{x\sin x(1+\sqrt{\cos x})}{2 (1-\cos x)}\\
= & \lim_{x \to 0} \dfrac{x\sin x(1+\sqrt{\cos x})}{2 \left(1-\left(1-2\sin^2 \dfrac{1}{2}x \right)\right)}\\
= & \lim_{x \to 0} \dfrac{x\sin x(1+\sqrt{\cos x})}{2 \left(2\sin^2 \dfrac{1}{2}x\right)}\\
= & \lim_{x \to 0} \dfrac{x\sin x(1+\sqrt{\cos x})}{4\sin^2 \dfrac{1}{2}x}\\
= & \lim_{x \to 0} \dfrac{1}{4}\dfrac{x}{\sin \dfrac{1}{2}x} \dfrac{\sin x}{\sin \dfrac{1}{2}x}(1+\sqrt{\cos x})\\
= & \dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{1}{\dfrac{1}{2}}\cdot \dfrac{1}{\dfrac{1}{2}}\cdot (1+1)\\
= & \dfrac{1}{4}\cdot 2 \cdot 2 \cdot 2\\
= & 2
\end{split}

Part 1: nomer 1 - 5
Part 2: nomer 6 - 10
Part 3: nomer 11 - 15

Click to comment