Type something and hit enter

author photo
By On
SOAL #11
$\lim\limits_{x \to \infty} x \sec \left(\dfrac{1}{x}\right)\left(1- \cos \dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)=$ ...
JAWABAN #11
Misalkan $y=\dfrac{1}{x}$ maka
\begin{split}
& \lim\limits_{x \to \infty} x \sec \left(\dfrac{1}{x}\right)\left(1- \cos \dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)\\
= & \lim\limits_{y \to 0} \dfrac{1}{y} \sec (y) (1- \cos \sqrt{y} )\\
= & \lim\limits_{y \to 0} \dfrac{1- \cos \sqrt{y}}{y} \dfrac{1}{\cos y} \\
= & \lim\limits_{y \to 0} \dfrac{1- \cos \sqrt{y}}{y} \dfrac{1}{\cos y} \\
= & \lim\limits_{y \to 0} \dfrac{1- \left(1-2\sin^2 \frac{1}{2}\sqrt{y}\right)}{y} \dfrac{1}{\cos y} \\
= & \lim\limits_{y \to 0} \dfrac{2\sin^2 \frac{1}{2} \sqrt{y}}{y} \dfrac{1}{\cos y} \\
= & \lim\limits_{y \to 0} 2\dfrac{\sin \frac{1}{2} \sqrt{y}}{\sqrt{y}} \dfrac{\sin \frac{1}{2}\sqrt{y}}{\sqrt{y}} \dfrac{1}{\cos y} \\
= & 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 \\
= & \frac{1}{2}
\end{split}
SOAL #12
Diketahui fungsi $f(x)=\dfrac{ax+5}{\sqrt{x^2+bx+1}}$ dengan $a > 0$ dan $b < 0$. Jika grafik fungsi mempunyai satu asimtot tegak dan salah satu asimtot datarnya adalah $y = −3$, maka $a + 2b$ adalah ...

JAWABAN #12
Asimtot datar diperoleh dari persamaan $y = \lim\limits_{x \to \infty} f(x)$ atau $y = \lim\limits_{x \to -\infty} f(x)$ yaitu $$y = \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{ax+5}{\sqrt{x^2+bx+1}}$$ Pada ruas kanan kalikan dengan $\dfrac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}$ sehingga
\begin{split}
& y = \lim_{x \to \infty} \dfrac{ax+5}{\sqrt{x^2+bx+1}} \times \dfrac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}\\
\Rightarrow & -3 = \lim_{x \to \infty} \dfrac{a+\frac{5}{x}}{\sqrt{\frac{x^2}{x^2}+\frac{bx}{x^2}+\frac{1}{x^2}}}\\
\Rightarrow & -3 = \dfrac{a+0}{\sqrt{1+0+0}}\\
\Rightarrow & a = -3
\end{split} Tetapi $a > 0$ jadi nilai $a$ bukan $−3$ sehingga asimtotnya akan diperoleh dari
\begin{split}
& y = \lim_{x \to -\infty} \dfrac{ax+5}{\sqrt{x^2+bx+1}}\\
\Rightarrow & y = \lim_{x \to \infty} \dfrac{-ax+5}{\sqrt{(-x)^2-bx+1}} \times \dfrac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}\\
\Rightarrow & -3 = \lim_{x \to -\infty} \dfrac{-a+\frac{5}{x}}{\sqrt{\frac{x^2}{x^2}-\frac{bx}{x^2}+\frac{1}{x^2}}}\\
\Rightarrow & -3 = \dfrac{-a+0}{\sqrt{1-0+0}}\\
\Rightarrow & a = 3
\end{split}
grafik fungsi mempunyai satu asimtot tegak maka pembuat 0 penyebutnya hanya ada satu yaitu $x^2+bx+1=0$, dengan kata lain persamaan tersebut memiliki satu akar. Oleh karena itu Diskriminannya harus sama dengan 0 yaitu
\begin{split}
& b^2-4\cdot 1\cdot 1=0\\
\Rightarrow & b^2=4\\
\Rightarrow & b=\pm 2
\end{split}Karena $b < 0$ maka $b = −2$. Jadi $a + 2b = 3 + 2(−2) = −1$

SOAL #13
Misalkan $f(x) = \sin(2\sin x \cos x)$, maka $f'(x) = \ldots$
JAWABAN #13
Karena $2\sin x \cos x = \sin 2x$ maka $f(x) = \cos(\sin 2x)$, kemudian misalkan
$u=2x\Rightarrow \dfrac{du}{dx}=2$
$v=\sin u \Rightarrow \dfrac{dv}{du} = \cos u$
$f=\cos v \Rightarrow \dfrac{df}{dv} = -\sin v$
Maka dengan aturan rantai
\begin{split}
f'(x) & = \dfrac{df}{dx}\\
& = \dfrac{df}{dv}\cdot \dfrac{dv}{du}\cdot \dfrac{du}{dx}\\
& = −\sin v \cdot \cos u \cdot 2\\
& = −2\sin(\sin u) \cos 2x\\
& = -2\sin(\sin 2x) \cos 2x\\
& = -2\cos 2x\sin(\sin 2x)
\end{split}
SOAL #14
Garis singgung dari $f(x)=x^2+\dfrac{a}{x}$ di titik $x = 1$ berpotongan dengan garis $y = x − 1$ di titik $(b,c)$, maka $b − c = \ldots$
JAWABAN #14
berpotongan dengan garis $y = x − 1$ di titik $(b,c)$ maka garis $y = x − 1$ melalui titik $(b,c)$ sehingga bisa disubstitusikan menjadi $c = b − 1 \Rightarrow c − b = − 1$

SOAL #15
Di dalam kotak I terdapat 12 bola putih dan 3 bola merah. Di dalam kotak II terdapat 4 bola putih dan 4 bola merah. Jika dari kotak I dan kotak II masing-masing diambil 2 bola satu per satu dengan pengembalian, maka peluang yang terambil 1 bola merah adalah ...
JAWABAN #15
Kemungkinan terambil 1 bola merah yaitu
a) dari kotak I terambil satu merah satu putih dan dari kotak II terambil keduanya putih
b) dari kotak I terambil keduanya putih dan dari kotak II terambil satu merah satu putih

Kasus pertama
dari kotak I terambil satu merah satu putih, peluangnya adalah $2\cdot \dfrac{3}{15}\cdot\dfrac{12}{15}=\dfrac{8}{25}$ (perkalian dengan 2 karena urutan bisa putih dulu kemudian merah atau merah dulu baru putih)
dari kotak II terambil keduanya putih, peluangnya adalah $\dfrac{4}{8}\cdot\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{4}$
sehingga peluang terjadinya kasus pertama adalah $\dfrac{8}{25} \cdot \dfrac{1}{4}= \dfrac{2}{25}$

Kasus kedua
dari kotak I terambil keduanya putih, peluangnya adalah $\dfrac{12}{15}\cdot \dfrac{12}{15}=\dfrac{16}{25}$
dari kotak II terambil satu merah satu putih, peluangnya adalah $2 \dfrac{4}{8}\cdot\dfrac{4}{8}=\dfrac{2}{4}$
sehingga peluang terjadinya kasus kedua adalah $\dfrac{16}{25} \cdot \dfrac{2}{4} = \dfrac{8}{25}$

Jadi peluang yang terambil 1 bola merah adalah $\dfrac{2}{25}+\dfrac{8}{25}=\dfrac{10}{25}=0.4$

Part 1: nomer 1 - 5
Part 2: nomer 6 - 10
Part 3: nomer 11 - 15

5 komentar

avatar

Keren. Bagaimana cara membuat ketikan seperti ini?

addyjuniaddy.com

avatar

Terima kasih atas kunjungannya :)
Kami menggunakan mathjax

avatar

Belajar banyak sekai dari epsilon positif. Tapi kalau mau ogfline soal gimana ? apa ada link menyediakan format pdf ?

avatar

Tolong bagaimana solusi dari sin(x+y)/2cosx cosy = p maka nilai sin(x-y)=...

Click to comment