Type something and hit enter

author photo
By On
SOAL #1
Jika $m$ dan $n$ memenuhi $\begin{cases} \dfrac{1}{m^2}- \dfrac{2}{n^2}=2\\ \dfrac{3}{m^2}- \dfrac{4}{n^2}=8\end{cases}$ maka $mn = \ldots$
JAWABAN #1
Misalkan $\dfrac{1}{m^2}=x$ dan $\dfrac{1}{n^2}=y$ maka persamaan di atas dapat ditulis sebagai
\begin{split}
x − 2y & = 2\\
3x − 4y & = 8
\end{split}Dengan menyelesaikan sistem persamaan di atas diperoleh $x = 4$ dan $y = 1$. Jadi
\begin{split}
& xy = 4\\
\Rightarrow & \dfrac{1}{m^2}\dfrac{1}{n^2} = 4\\
\Rightarrow & m^2n^2=\dfrac{1}{4}\\
\Rightarrow & mn = \dfrac{1}{2}
\end{split}REFERENSI: Sistem Persamaan Linier Dua Variabel

SOAL #2
Seorang pelajar berencana untuk menabung di koperasi yang keuntungannya dihitung setiap semester. Apabila jumlah tabungannya menjadi dua kali lipat dalam 5 tahun, maka besar tingkat suku bunga per tahun adalah ...
JAWABAN #2
Misalkan tabungan awalnya adalah $M$, suku bunga yang didapat sebesar $b$ setiap semester, maka setelah 5 tahun (10 semester) tabungannya menjadi $M(1 + b)^{10}$. Tetapi karena setelah 5 tahun tabungannya menjadi dua kali lipat maka diperoleh persamaan
\begin{split}
& M(1+b)^{10}=2M\\
\Rightarrow & (1+b)^{10}=2\\
\Rightarrow & 1+b=\sqrt[10]{2}\\
\Rightarrow & b=\sqrt[10]{2}-1
\end{split}Jadi besar tingkat suku bunga per tahun adalah $2b = 2(\sqrt[10]{2}-1)$

SOAL #3
Banyaknya bilangan bulat negatif $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\dfrac{|x+1|-2x}{x^2+x-12} \leq 0$ adalah ...
JAWABAN #3
Kasus pertama jika $x \geq −1$
\begin{split}
& \dfrac{|x+1|-2x}{x^2+x-12} \leq 0\\
\Rightarrow & \dfrac{x+1-2x}{x^2+x-12} \leq 0\\\
\Rightarrow & \dfrac{-x+1}{x^2+x-12} \leq 0\\
\Rightarrow & \dfrac{x-1}{(x+4)(x-3)} \geq 0\\
\Rightarrow & -4 < x \leq 1 \text{ atau } x > 3
\end{split}Tetapi karena $x ≥ −1$ maka $−1 ≤ x ≤ 1$ atau $x > 3$

Kasus kedua jika $x < −1$ \begin{split} & \dfrac{-x-1-2x}{x^2+x-12} \leq 0\\ \Rightarrow & \dfrac{-3x-1}{x^2+x-12} \leq 0\\\ \Rightarrow & \dfrac{3x+1}{x^2+x-12} \geq 0\\ \Rightarrow & \dfrac{3x+1}{(x+4)(x-3)} \geq 0\\ \Rightarrow & -4 < x \leq 1 \text{ atau } x > 3
\end{split}
Karena $x < 1$ maka $−4 < x < −1$. Dengan menggabungkan penyelesaian dari kasus pertama dan kedua diperoleh $−4 < x ≤ 1$ atau $x > 3$, sehingga bilangan bulat yang memenuhi adalah −3, −2, −1, 0, ... dst. Jadi bilangan bulat negatif yang memenuhi ada sebanyak 3

REFERENSI: Pertidaksamaan Rasional

SOAL #4
Vektor $a$ dan $b$ membentuk sudut $\alpha$ dengan $\sin \alpha = \dfrac{1}{\sqrt{7}}$. Jika $|a|=\sqrt{5}$ dan $a\cdot b = \sqrt{30}$, maka $b\cdot b = \ldots$
JAWABAN #4
Karena identitas $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ dan $\sin \alpha = \dfrac{1}{\sqrt{7}}$ maka $\cos \alpha = \pm \sqrt{\dfrac{6}{7}}$

Jika $\cos \alpha = \sqrt{\dfrac{6}{7}}$ maka
\begin{split}
& a \cdot b = |a||b| \cos \alpha\\
\Rightarrow & \sqrt{30} = \sqrt{5}|b|\sqrt{\dfrac{6}{7}}\\
\Rightarrow & |b|=\dfrac{\sqrt{30}}{\sqrt{5}\sqrt{\dfrac{6}{7}}}\\
\Rightarrow & |b|=\sqrt{7}\\
\Rightarrow & |b|^2=7\\
\Rightarrow & b\cdot b = 7
\end{split}
SOAL #5
Jika $x_1$ dan $x_2$ adalah solusi dari $2\cot x − 2\tan x − 4\sin x \cos x = 0$ untuk $0 < x < \frac{\pi}{2}$, maka $\sin^2 x_1 + \sin^2 x_2 = \ldots$

JAWABAN #5
\begin{split}
& 2\cot x - 2\tan x - 4\sin x \cos x=0\\
\Rightarrow & 2\dfrac{\cos x}{\sin x} - 2\dfrac{\sin x}{\cos x} - 4\sin x \cos x=0
\end{split}Kedua ruas dikalikan dengan $\sin x \cos x$ diperoleh
\begin{split}
& 2\cos^2 x - 2\sin^2 x - 4(\sin x \cos x)^2=0\\
\Rightarrow & 2(\cos^2 x - \sin^2 x) - 4(\sin x \cos x)^2=0\\
\Rightarrow & 2\cos 2x - 4\left(\dfrac{1}{2}\sin 2x\right)^2=0\\
\Rightarrow & 2\cos 2x - 4\cdot \dfrac{1}{4} \sin^2 2x =0\\
\Rightarrow & 2\cos 2x - \sin^2 2x =0\\
\Rightarrow & 2\cos 2x - (1-\cos^2 2x) =0\\
\Rightarrow & \cos^2 2x + 2\cos 2x - 1 =0
\end{split}Misalkan persamaan kuadrat di atas memiliki penyelesaian $\cos 2x_1$ dan $\cos 2x_2$ maka $\cos 2x_1 + \cos 2x_2 = −2$. Kemudian dengan menggunakan identitas $\cos 2A = 1 − 2\sin^2 A$ maka
\begin{split}
& \cos 2x_1 + \cos 2x_2 = -2 \\
\Rightarrow & 1-2\sin^2 x_1 + 1-2\sin^2 x_2 = -2\\
\Rightarrow & 2-2(\sin^2 x_1 + \sin^2 x_2)=-2\\
\Rightarrow & -2(\sin^2 x_1 + \sin^2 x_2)=-4\\
\Rightarrow & \sin^2 x_1 + \sin^2 x_2 = 2
\end{split}
REFERENSI: Persamaan Kuadrat

Part 1: nomer 1 - 5
Part 2: nomer 6 - 10
Part 3: nomer 11 - 15

4 komentar

avatar

Kami belum punya untuk kode soal 123, jika berkenan silahkan kirimkan foto atau scan soalnya ke epsilonpositif@gmail.com

Click to comment