Type something and hit enter

author photo
By On
Soal #11
$\lim\limits_{x \to \infty} x\left(\sec \dfrac{1}{\sqrt{x}}-1\right)=$ ...

Pembahasan
Misalkan $x=\dfrac{1}{y}$ maka \begin{split} & \lim\limits_{x \to \infty} x\left(\sec \dfrac{1}{\sqrt{x}}-1\right)\\ = & \lim\limits_{y \to 0} \dfrac{1}{y} \left(\sec \sqrt{y} -1\right)\\ = & \lim\limits_{y \to 0} \dfrac{1}{y} \left(\dfrac{1}{\cos \sqrt{y}} -1\right)\\ = & \lim\limits_{y \to 0} \dfrac{1}{y} \left(\dfrac{1-\cos \sqrt{y}}{\cos \sqrt{y}}\right)\\ = & \lim\limits_{y \to 0} \dfrac{1}{y} \left(\dfrac{1-\left(1-2\sin^2 \frac{1}{2}\sqrt{y}\right)}{\cos \sqrt{y}}\right)\\ = & \lim\limits_{y \to 0} \dfrac{1}{y} \left(\dfrac{2\sin^2 \frac{1}{2}\sqrt{y}}{\cos \sqrt{y}}\right)\\ = & \lim\limits_{y \to 0} 2\cdot \dfrac{\sin \frac{1}{2}\sqrt{y}}{\sqrt{y}} \cdot \dfrac{\sin \frac{1}{2}\sqrt{y}}{\sqrt{y}} \cdot \dfrac{1}{\cos \sqrt{y}}\\ = & 2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 1\\ = & \dfrac{1}{2} \end{split}
Soal #12
Jika kurva $y=\dfrac{(x^2+2bx+b^2)(x-a)}{(x^2-a^2)(x^2+2)}$, dengan a ≠ 0, tidak mempunyai asimtot tegak, maka kurva $y=\dfrac{(a+2b)x^2-7a}{(a-2b)x^2+7b}$ mempunyai asimtot datar ...

Pembahasan
\begin{split} y & = \dfrac{(x^2+2bx+b^2)(x-a)}{(x^2-a^2)(x^2+2)}\\ & = \dfrac{(x+b)(x+b)\color{Red}{(x-a)}}{\color{Red}{(x-a)}(x+a)(x^2+2)}\\ & = \dfrac{(x+b)(x+b)}{(x+a)(x^2+2)} \end{split} Agar fungsi di atas tidak memiliki asimtot tegak maka haruslah faktor $(x+a)$ pada penyebut bisa dicoret, syaratnya faktor pembilang juga harus $(x+a)$, ini berarti a = b, sehingga kurva yang satunya lagi dapat ditulis sebagai \begin{split} y & = \dfrac{(a+2b)x^2-7a}{(a-2b)x^2+7b}\\ & = \dfrac{3bx^2-7b}{-bx^2+7b} \end{split} Sehingga asimtot datarnya adalah \begin{split} & y = \lim_{x \to \infty} \dfrac{3bx^2-7b}{-bx^2+7b}\\ \Rightarrow & y = \lim_{x \to \infty} \dfrac{3bx^2-7b}{-bx^2+7b} \times \dfrac{\frac{1}{x^2}}{\frac{1}{x^2}}\\ \Rightarrow & y = \lim_{x \to \infty} \dfrac{3b-\frac{7b}{x^2}}{-b+\frac{7b}{x^2}}\\ \Rightarrow & y = \dfrac{3b-0}{-b+0}\\ \Rightarrow & y = -3 \end{split}
Soal #13
Misalkan f(x) = cos(sin2x), maka f'(x) = ...

Pembahasan
Misalkan u = v2 dengan v = sin x maka f(x) = sin(u). \begin{split} f'(x) = & \dfrac{df}{dx}\\ = & \dfrac{df}{du}\cdot \dfrac{du}{dv} \cdot \dfrac{dv}{dx} \\ = & -\sin (u)\cdot 2v \cdot \cos x\\ = & -\sin (v^2)\cdot 2\sin x \cdot \cos x\\ = & -\sin (\sin^2 x)\cdot \sin 2x\\ = & -\sin 2x \sin (\sin^2 x)\\ \end{split}
Soal #14
Diketahui garis singgung $f(x)=\dfrac{x^2 \sin x}{\pi}$ di titik $x=\dfrac{\pi}{2}$ berpotongan dengan garis y = 3x − π di titik (a,b). Nilai a + b = ...

Pembahasan
Titik singgungnya adalah $\left(\dfrac{\pi}{2},f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\right)$, Karena $f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=\dfrac{\left(\dfrac{\pi}{2}\right)^2 \sin \dfrac{\pi}{2}}{\pi}=\dfrac{\pi}{4}$ maka titik singgungnya juga adalah $\left(\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{4}\right)$.

Gradien garis singgung didapat melalui turunan f yakni \begin{split} & f'(x)=\dfrac{2x\sin x + x^2\cos x}{\pi}\\ \Rightarrow & m = \dfrac{2\cdot \dfrac{\pi}{2} \sin \dfrac{\pi}{2} + \left(\dfrac{\pi}{2}\right)^2\cos \dfrac{\pi}{2}}{\pi}\\ \Rightarrow & m = \dfrac{\pi + 0}{\pi}\\ \Rightarrow & m = 1 \end{split} Sehingga diperoleh persamaan garis singgunya \begin{split} & y-\dfrac{\pi}{4}=m\left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)\\ \Rightarrow & y=\left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)+\dfrac{\pi}{4}\\ \Rightarrow & y=x-\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{4}\\ \Rightarrow & y=x-\dfrac{\pi}{4}\\ \Rightarrow & 4y-4x=-\pi \end{split} Titik potong garis 4y − 4x = −π dan garis y = 3x − π diperoleh dengan cara menyelesaikan sistem yang dibentuk oleh kedua persamaan garis tersebut. Penyelesaiannya adalah $x = \dfrac{3}{8}\pi$ dan $y=\dfrac{1}{8}\pi$, Jadi $a+b=x+y= \dfrac{3}{8}\pi+\dfrac{1}{8}\pi=\dfrac{1}{2}\pi$
Soal #15
Di dalam kotak I terdapat 12 bola putih dan 3 bola merah. Di dalam kotak II terdapat 4 bola putih dan 4 bola merah. Jika dari kotak I dan kotak II masing-masing diambil 2 bola satu per satu dengan pengembalian, maka peluang yang terambil 1 bola merah adalah ...

Pembahasan
Kemungkinan terambil 1 bola merah yaitu
a) dari kotak I terambil satu merah satu putih dan dari kotak II terambil keduanya putih
b) dari kotak I terambil keduanya putih dan dari kotak II terambil satu merah satu putih

Kasus pertama
dari kotak I terambil satu merah satu putih, peluangnya adalah $2\cdot \dfrac{3}{15}\cdot\dfrac{12}{15}=\dfrac{8}{25}$ (perkalian dengan 2 karena urutan bisa putih dulu kemudian merah atau merah dulu baru putih)
dari kotak II terambil keduanya putih, peluangnya adalah $\dfrac{4}{8}\cdot\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{4}$
sehingga peluang terjadinya kasus pertama adalah $\dfrac{8}{25} \cdot \dfrac{1}{4}= \dfrac{2}{25}$

Kasus kedua
dari kotak I terambil keduanya putih, peluangnya adalah $\dfrac{12}{15}\cdot \dfrac{12}{15}=\dfrac{16}{25}$
dari kotak II terambil satu merah satu putih, peluangnya adalah $2 \dfrac{4}{8}\cdot\dfrac{4}{8}=\dfrac{2}{4}$
sehingga peluang terjadinya kasus kedua adalah $\dfrac{16}{25} \cdot \dfrac{2}{4} = \dfrac{8}{25}$

Jadi peluang yang terambil 1 bola merah adalah $\dfrac{2}{25}+\dfrac{8}{25}=\dfrac{10}{25}=0.4$
Part 1: nomer 1 - 5
Part 2: nomer 6 - 10
Part 3: nomer 11 - 15

Click to comment