Type something and hit enter

author photo
By On
Soal #6
Jarak antara titik potong kedua asimtot hiperbola $-\dfrac{x^2-2nx+n^2}{4}+\dfrac{y^2-4my+4m^2}{9}=1$ pada sumbu X adalah ...

Pembahasan
\begin{split} & -\dfrac{x^2-2nx+n^2}{4}+\dfrac{y^2-4my+4m^2}{9}=1\\ \Rightarrow & \dfrac{y^2-4my+4m^2}{9}-\dfrac{x^2-2nx+n^2}{4}=1\\ \Rightarrow & \dfrac{(y-2m)^2}{9}-\dfrac{(x-n)^2}{4}=1 \end{split} Asimtot hiperbola tersebut adalah \begin{split} & \dfrac{(y-2m)^2}{9}-\dfrac{(x-n)^2}{4}=0\\ \Rightarrow & \dfrac{(y-2m)^2}{9}=\dfrac{(x-n)^2}{4}\\ \Rightarrow & (y-2m)^2=\dfrac{9}{4}(x-n)^2\\ \Rightarrow & y-2m=\pm \dfrac{3}{2}(x-n)\\ \end{split}
Hiperbola tersebut memiliki dua asimtot yaitu $y-2m=\dfrac{3}{2}(x-n)$ dan $y-2m=-\dfrac{3}{2}(x-n)$. Titik potong sumbu X kedua asimtot didapatkan dengan cara mensubstitusikan y = 0 ke persamaan asimtot. \begin{split} & 0-2m=\dfrac{3}{2}(x-n)\\ \Rightarrow & x-n=-\dfrac{4}{3}m\\ \Rightarrow & x=-\dfrac{4}{3}m+n \end{split} dan \begin{split} & 0-2m=-\dfrac{3}{2}(x-n)\\ \Rightarrow & x-n=\dfrac{4}{3}m\\ \Rightarrow & x=\dfrac{4}{3}m+n \end{split} Jadi jarak kedua titik potong asimtot dengan sumbu X adalah $\left(\dfrac{4}{3}m+n\right)-\left(-\dfrac{4}{3}m+n\right)=\dfrac{8}{3}m$

Soal #7
Jika x3 + 4x2 + b = (x − 3)Q(x) + 10b, maka Q(x) adalah ...

Pembahasan
Subsitusikan x = 3 ke persamaan sehingga diperoleh
33 + 4⋅32 + b = (3 − 3)Q(3) + 10b
⇔ 27 + 36 + b = 0 + 10b
⇔ 63 = 9b
⇔ b = 7

Jadi x3 + 4x2 + 7 = (x − 3)Q(x) + 70. Dari persamaan tersebut Q(x) merupakan hasil pembagian x3 + 4x2 + 7 oleh x − 3 yang dapat dicari menggunakan metode horner
Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Kode 126 Matematika Saintek
Dari diagram di atas diperoleh Q(x) = x2 + 7x + 21

Referensi: Metode Horner

Soal #8
Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Kode 126 Matematika Saintek
Diketahui suatu lingkaran kecil dengan radius $3\sqrt{2}$ melalui pusat suatu lingkaran besar dengan radius 6. Ruas garis yang menghubungkan dua titik potong lingkaran merupakan diameter dari lingkaran kecil, seperti pada gambar. Luas daerah irisan kedua lingkaran adalah ...

Pembahasan
Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Kode 126 Matematika Saintek
Daerah irisan tersebut terdiri dari dua tembereng lingkaran, oleh karena itu akan dihitung satu persatu kemudian jumlahkan hasilnya.

Bagian pertama
Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Kode 126 Matematika Saintek
Pada gambar di atas daerah berwarna biru merupakan tembereng lingkaran besar. Luasnya diperoleh dari Luas juring DAE dikurangi luas segitiga DAE.

Karena DE merupakan diameter lingkaran kecil maka sudut DAE adalah sudut siku-siku, sehingga luas juring DAE adalah $\dfrac{90^{\circ}}{360^{\circ}}\pi \cdot 6^2=9 \pi$ dan luas segitiga DAE adalah $\dfrac{DA\cdot EA}{2}=\dfrac{6\cdot 6}{2}=18$. Oleh karena itu luas tembereng di atas (warna biru) adalah $9\pi - 18$.

Bagian kedua
Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Kode 126 Matematika Saintek
Daerah berwarna biru di atas merupakan daerah setengah lingkaran yang kecil(karena DE adalah diameter), yang luasnya $\dfrac{1}{2}\pi \cdot (3\sqrt{2})^2 = 9\pi$.

Jadi luas daerah irisan tersebut adalah $9\pi - 18 + 9\pi= 18\pi-18$

Soal #9
Jika $\int_{-4}^4 f(x)(\sin x + 1)\ dx = 8$, dengan $f(x)$ fungsi genap dan $\int_{-2}^4 f(x) dx = 4$, maka $\int_{-2}^0 f(x)\ dx$ adalah

Pembahasan
\begin{split} & \int_{-4}^4 f(x)(\sin x + 1)\ dx = 8\\ \Rightarrow & \int_{-4}^4 f(x) \sin x\ dx + \int_{-4}^4 f(x)\ dx = 8 \end{split} $f(x)$ fungsi genap dan $\sin x$ fungsi ganjil maka $f(x) \sin x$ merupakan fungsi ganjil sehingga $\int_{-4}^4 f(x) \sin x\ dx=0$ dan $\int_{-4}^4 f(x)\ dx = 2 \int_{0}^4 f(x)\ dx$. Oleh karena itu \begin{split} & \int_{-4}^4 f(x) \sin x\ dx + \int_{-4}^4 f(x)\ dx = 8\\ \Rightarrow & 0 + \int_{-4}^4 f(x)\ dx = 8\\ \Rightarrow & \int_{-4}^4 f(x)\ dx = 8\\ \Rightarrow & 2 \int_{0}^4 f(x)\ dx = 8\\ \Rightarrow & \int_{0}^4 f(x)\ dx = 4\\ \Rightarrow & \int_{0}^4 f(x)\ dx = 4 \end{split} Oleh karena itu \begin{split} & \int_{-2}^4 f(x) dx = 4\\ \Rightarrow & \int_{-2}^0 f(x) dx + \int_{0}^4 f(x)\ dx = 4\\ \Rightarrow & \int_{-2}^0 f(x) dx + 4 = 4\\ \Rightarrow & \int_{-2}^0 f(x) dx = 0 \end{split}
Referensi: Fungsi Ganjil dan Genap

Soal #10
$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{4x + 3x\cos 4x}{\sin 4x \cos 4x}=$ ...

Pembahasan
\begin{split} & \lim_{x \to 0} \dfrac{4x + 3x\cos 4x}{\sin 4x \cos 4x}\\ = & \lim_{x \to 0} \dfrac{4x}{\sin 4x \cos 4x} + \frac{3x\cos 4x}{\sin 4x \cos 4x}\\ = & \lim_{x \to 0} \dfrac{4x}{\sin 4x}\frac{1}{\cos 4x} + \frac{3x}{\sin 4x}\frac{\cos 4x}{\cos 4x}\\ = & 1 \cdot 1 + \dfrac{3}{4} \cdot 1\\ = & \dfrac{7}{4} \end{split}

Part 1: nomer 1 - 5
Part 2: nomer 6 - 10
Part 3: nomer 11 - 15

Click to comment