Type something and hit enter

author photo
By On
Soal #1
Jika x dan y memenuhi sistem $\begin{cases} \dfrac{y}{x}-\dfrac{1}{(y-1)^2}=\dfrac{1}{4} \\ \dfrac{3y}{x}-\dfrac{4}{(y-1)^2}=\dfrac{1}{2} \end{cases}$ maka xy = ...

Pembahasan
Misalkn $\dfrac{x}{y}=p$ dan $\dfrac{1}{(y-1)^2}=q$ maka sistem di atas dapat ditulis sebagai \begin{split} p-q & =\dfrac{1}{4}\\ 3p-4q & = \dfrac{1}{2} \end{split} Dengan menyelesaikan sistem di atas diperoleh $p=\dfrac{1}{2}$ dan $q=\dfrac{1}{4}$. Akibatnya $$\dfrac{1}{(y-1)^2}=\dfrac{1}{4}\text{ ...(1)}$$ dan $$\dfrac{y}{x}=\dfrac{1}{2}\text{ ...(2)}$$ Dari persamaan (1) diperoleh y = 3 atau y = −1. Dengan mensubstitusi nilai y ke persamaan (2) diperoleh nilai x.

Jika y = 3 maka x = 6, sehingga xy = 18.

Jika y = −1 maka x = −2, sehingga xy = 2.

Jadi nilai xy adalah 2 atau 18
Soal #2
Seorang pelajar berencana untuk menabung di koperasi yang keuntungannya dihitung setiap semester. Apabila jumlah tabungannya menjadi dua kali lipat dalam 5 tahun, maka besar tingkat suku bunga per tahun adalah ...

Pembahasan
Misalkan tabungan awalnya = M, suku bunga yang didapat sebesar b, maka setelah 5 tahun (10 semester) tabungannya menjadi M(1 + b)10. Tetapi karena setelah 5 tahun tabungannya menjadi dua kali lipat maka diperoleh persamaan \begin{split} & M(1+b)^{10}=2M\\ \Rightarrow & (1+b)^{10}=2\\ \Rightarrow & 1+b=\sqrt[10]{2}\\ \Rightarrow & b=\sqrt[10]{2}-1 \end{split} Jadi besar tingkat suku bunga per tahun adalah 2b = $2(\sqrt[10]{2}-1)$
Soal #3
Banyaknya bilangan bulat yang BUKAN merupakan solusi dari pertidaksamaan $\dfrac{2x}{x-2} \leq |x-3|$ adalah ...

Pembahasan
Jika x ≥ 3 maka \begin{split} & \dfrac{2x}{x-2} \leq |x-3|\\ \Rightarrow & \dfrac{2x}{x-2} \leq x-3\\ \Rightarrow & \dfrac{2x}{x-2} -x + 3 \leq 0\\ \Rightarrow & \dfrac{2x}{x-2} - \dfrac{x(x-2)}{x-2} + \dfrac{3(x-2)}{x-2} \leq 0\\ \Rightarrow & \dfrac{2x-x(x-2)+3(x-2)}{x-2} \leq 0\\ \Rightarrow & \dfrac{2x-x^2+2x+3x-6}{x-2} \leq 0\\ \Rightarrow & \dfrac{-x^2+7x-6}{x-2} \leq 0\\ \Rightarrow & \dfrac{x^2-7x+6}{x-2} \geq 0\\ \Rightarrow & \dfrac{(x-6)(x-1)}{x-2} \geq 0\\ \Rightarrow & 1 \leq x < 2 \text{ atau } x \geq 6 \end{split} Tetapi karena x ≥ 3, maka penyelesaiannya hanya x ≥ 6

Jika x < 3 maka \begin{split} & \dfrac{2x}{x-2} \leq |x-3|\\ \Rightarrow & \dfrac{2x}{x-2} \leq -x+3\\ \Rightarrow & \dfrac{2x}{x-2} + x - 3 \leq 0\\ \Rightarrow & \dfrac{2x}{x-2} + \dfrac{x(x-2)}{x-2} - \dfrac{3(x-2)}{x-2} \leq 0\\ \Rightarrow & \dfrac{2x+x(x-2)-3(x-2)}{x-2} \leq 0\\ \Rightarrow & \dfrac{2x+x^2-2x-3x+6}{x-2} \leq 0\\ \Rightarrow & \dfrac{x^2-3x+6}{x-2} \leq 0 \end{split} Karena pembilang dari persamaan di atas definit positif maka penyelesaiannya hanya x < 2.
Penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut adalah gabungan antara kedua penyelesaian yaitu x < 2 atau x ≥ 3, sehingga bilangan bulat yang BUKAN merupakan solusi hanya bilangan 2 yaitu sebanyak 1 bilangan.
Soal #4
Diketahui vektor a,u,v,w adalah vektor di bidang kartesius dengan v = w − u dan sudut antara u dan w adalah 60°. Jika a = 4v dan a⋅u = 0 maka ...
(A) |u| = 2|v|
(B) |v| = 2|w|
(C) |v| = 2|u|
(D) |w| = 2|v|
(E) |w| = 2|u|

Pembahasan
\begin{split} & v=w-u\\ \Rightarrow & v\cdot v = (w-u)\cdot (w-u)\\ \Rightarrow & |v|^2=w\cdot w-2w\cdot u+u\cdot u\\ \Rightarrow & |v|^2=|w|^2-2w\cdot u+|u|^2\\ \Rightarrow & |v|^2=|w|^2-2|w||u|\cos 60^{\circ}+|u|^2\\ \Rightarrow & |v|^2=|w|^2-|w||u|+|u|^2 \end{split} Karena a⋅u = 0 dan a = 4v maka 4v⋅u = 0 atau v⋅u = 0. Kemudian \begin{split} & v=w-u\\ \Rightarrow & w=v+u\\ \Rightarrow & w\cdot w = (v+u)\cdot (v+u)\\ \Rightarrow & |w|^2=v\cdot v-2v\cdot u+u\cdot u\\ \Rightarrow & |w|^2=|v|^2-2v\cdot u+|u|^2\\ \Rightarrow & |w|^2=|v|^2-2|v||u|\cos 60^{\circ}+|u|^2\\ \Rightarrow & |w|^2=|v|^2-|v||u|+|u|^2\\ \Rightarrow & |w|^2=|v|^2+|u|^2 \end{split} Substitusikan |w|2 = |v|2 + |u|2 ke persamaan |v|2 = |w|2 − |w||u| + |u|2 sehingga \begin{split} & |v|^2=|w|^2-|w||u|+|u|^2\\ \Rightarrow & |v|^2=(|v|^2+|u|^2)-|w||u|+|u|^2\\ \Rightarrow & 0=|u|^2-|w||u|+|u|^2\\ \Rightarrow & |w||u|=2|u|^2\\ \Rightarrow & |w|=2|u| \end{split}

Soal #5
Jika x1 dan x2 adalah solusi dari csc2 x + 3csc x − 10 = 0, dengan −π/2 < x < π/2, x ≠ 0, maka $\dfrac{\sin x_1 + \sin x_2}{\sin x_1\cdot \sin x_2}=$ ...

Pembahasan
\begin{split} & \csc^2 x + 3\csc x - 10 = 0\\ \Rightarrow & \dfrac{1}{\sin^2 x}+\dfrac{3}{\sin x}-10=0\\ \Rightarrow & 1+3\sin x-10\sin^2 x=0\\ \Rightarrow & 10\sin^2 x-3\sin x-1=0 \end{split} Dengan menggunakan rumus hasil jumlah dan hasil kali akar persamaan kuadrat diperoleh $$\sin x_1 + \sin x_2 = \dfrac{3}{10}$$ $$\sin x_1 \cdot \sin x_2 = \dfrac{-1}{10}$$ Jadi \begin{split} & \dfrac{\sin x_1 + \sin x_2}{\sin x_1\cdot \sin x_2}\\ = & \dfrac{\dfrac{3}{10}}{\dfrac{-1}{10}}\\ = & -3 \end{split}
Part 1: nomer 1 - 5
Part 2: nomer 6 - 10
Part 3: nomer 11 - 15

Click to comment