Type something and hit enter

author photo
By On
Soal #11
$\lim\limits_{x \to \infty} \csc \dfrac{1}{x} - \cot \dfrac{1}{x}=$ ...

Pembahasan
Misalkan $x=\dfrac{1}{y}$ maka \begin{split} & \lim_{x \to \infty} \csc \dfrac{1}{x} - \cot \dfrac{1}{x}\\ = & \lim_{y \to 0} \csc y - \cot y\\ = & \lim_{y \to 0} \dfrac{1}{\sin y} - \dfrac{\cos y}{\sin y}\\ = & \lim_{y \to 0} \dfrac{1-\cos y}{\sin y}\\ = & \lim_{y \to 0} \dfrac{1-\left(1-2\sin^2 \frac{1}{2}y\right)}{\sin y}\\ = & \lim_{y \to 0} \dfrac{2\sin^2 \frac{1}{2}y}{\sin y}\\ = & \lim_{y \to 0} 2\cdot \dfrac{\sin \frac{1}{2}y}{\sin y}\cdot \sin \frac{1}{2}y\\ = & 2 \cdot \dfrac{1}{2}\cdot 0\\ = & 0 \end{split}
Soal #12
Diketahui $f(x)=\dfrac{10}{x^2-ax+b}$, a ≠ 0, memiliki asimtot tegak di $x=ab$ dan $x=-\dfrac{2a}{b}$. Maka nilai b adalah ...

Pembahasan
Asimtot tegak tercapai jika penyebut dari f(x) adalah 0 yaitu $$x^2-ax+b=0$$ Karena asimtot tegaknya adalah $x=ab$ dan $x=-\dfrac{2a}{b}$ maka dengan rumus jumlah dan hasil kali akar persamaan kuadrat diperoleh \begin{split} & -\dfrac{2a}{b}\cdot ab=b\\ \Rightarrow & -2a^2=b \end{split} dan \begin{split} & -\dfrac{2a}{b} + ab=a\\ \Rightarrow & -\dfrac{2a}{-2a^2} + a(-2a^2)=a\\ \Rightarrow & \dfrac{1}{a} - 2a^3=a\\ \Rightarrow & 1 - 2a^4=a^2\\ \Rightarrow & 2a^4+a^2-1=0\\ \Rightarrow & (2a^2-1)(a^2+1)=0\\ \Rightarrow & a^2=\dfrac{1}{2} \text{ atau } a^2=-1 \end{split} Jadi $b=-2a^2=-2\left(\dfrac{1}{2}\right)=-1$ atau $b=-2a^2=-2(-1)=2$
Soal #13
Misalkan f(x) = cos(sin2x), maka f'(x) = ...

Pembahasan
Misalkan u = v2 dengan v = sin x maka f(x) = sin(u). \begin{split} f'(x) = & \dfrac{df}{dx}\\ = & \dfrac{df}{du}\cdot \dfrac{du}{dv} \cdot \dfrac{dv}{dx} \\ = & -\sin (u)\cdot 2v \cdot \cos x\\ = & -\sin (v^2)\cdot 2\sin x \cdot \cos x\\ = & -\sin (\sin^2 x)\cdot \sin 2x\\ = & -\sin 2x \sin (\sin^2 x)\\ \end{split}
Soal #14
Diketahui y = 3x − 5 adalah garis singgung kurva y = f(x) di x = 4. Persamaan garis singgung dari kurva y = f(x2) di x = 2 adalah ...

Pembahasan
y = 3x − 5 adalah garis singgung di x = 4 berarti y = 3(4) − 5 = 7 akibatnya kurva melalui titik (4,7).

Karena garis y = 3x − 5 memiliki gradien 3, ini berarti f'(4) = 3.

Ordinat titik singgung y = f(x2) di x = 2 adalah y = f(22) = f(4) = 7, sehingga titik singgungnya adalah (2,7). Dan gradien garis singgungnya diperoleh dari turunan y = f(x2) di x = 2 yaitu y' = f'(x2)⋅2x = f'(22)⋅2⋅2 = f'(4)⋅4 = 3⋅4 = 12.

Jadi persamaan garis singgungnya adalah
y − 7 = 12(x − 2)
⇔ y − 7 = 12x − 24
⇔ y = 12x − 24 + 7
⇔ y = 12x − 17
⇔ y − 12x + 17 = 0

catatan: pada pilihan jawaban tertulis jawaban yang kurang tepat
Soal #15
Di dalam kotak I terdapat 12 bola putih dan 3 bola merah. Di dalam kotak II terdapat 4 bola putih dan 4 bola merah. Jika dari kotak I dan kotak II masing-masing diambil 2 bola satu per satu dengan pengembalian, maka peluang yang terambil 1 bola merah adalah ...

Pembahasan
Kemungkinan terambil 1 bola merah yaitu
a) dari kotak I terambil satu merah satu putih dan dari kotak II terambil keduanya putih
b) dari kotak I terambil keduanya putih dan dari kotak II terambil satu merah satu putih

Kasus pertama
dari kotak I terambil satu merah satu putih, peluangnya adalah $2\cdot \dfrac{3}{15}\cdot\dfrac{12}{15}=\dfrac{8}{25}$ (perkalian dengan 2 karena urutan bisa putih dulu kemudian merah atau merah dulu baru putih)
dari kotak II terambil keduanya putih, peluangnya adalah $\dfrac{4}{8}\cdot\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{4}$
sehingga peluang terjadinya kasus pertama adalah $\dfrac{8}{25} \cdot \dfrac{1}{4}= \dfrac{2}{25}$

Kasus kedua
dari kotak I terambil keduanya putih, peluangnya adalah $\dfrac{12}{15}\cdot \dfrac{12}{15}=\dfrac{16}{25}$
dari kotak II terambil satu merah satu putih, peluangnya adalah $2 \dfrac{4}{8}\cdot\dfrac{4}{8}=\dfrac{2}{4}$
sehingga peluang terjadinya kasus kedua adalah $\dfrac{16}{25} \cdot \dfrac{2}{4} = \dfrac{8}{25}$

Jadi peluang yang terambil 1 bola merah adalah $\dfrac{2}{25}+\dfrac{8}{25}=\dfrac{10}{25}=0.4$
Part 1: nomer 1 - 5
Part 2: nomer 6 - 10
Part 3: nomer 11 - 15

Click to comment