Type something and hit enter

author photo
By On
Soal #6
Suatu hiperbola mempunyai fokus (−6,0) dan (4,0). Salah satu titik potong hiperbola dengan sumbu X adalah (3,0). Persamaan asimtot hiperbola tersebut adalah ...

Pembahasan
Pusat dari hiperbola adalah titik tengah antara kedua fokus yaitu $\dfrac{(-6,0)+(4,0)}{2}=(-1,0)$. Karena kedua fokus memiliki ordinat yang sama yaitu 0, ini berarti sumbu simetri hiperbola adalah garis y = 0 atau sumbu X, sehingga persamaan hiperbola tersebut dapat dinyatakan dengan $$\dfrac{(x+1)^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$$ titik potong hiperbola dengan sumbu X adalah (3,0) maka \begin{split} & \dfrac{(3+1)^2}{a^2}-\dfrac{0^2}{b^2}=1\\ \Rightarrow & \dfrac{16}{a^2}=1\\ \Rightarrow & a^2=16 \end{split} Pada hiperbola berlaku hubungan $$c^2=a^2+b^2$$ dengan c merupakan setengah kali jarak antara kedua fokus. Karena kedua fokusnya adalah (−6,0) dan (4,0) maka jaraknya adalah 10 sehingga c = 5, akibatnya \begin{split} & c^2=a^2+b^2\\ \Rightarrow & 5^2=16+b^2\\ \Rightarrow & b^2=9 \end{split} Sehingga diperoleh persamaan hiperbola $$\dfrac{(x+1)^2}{16}-\dfrac{y^2}{9}=1$$ dan persamaan asimtotnya diberikan oleh \begin{split} & \dfrac{(x+1)^2}{16}-\dfrac{y^2}{9}=0\\ \Rightarrow & \dfrac{(x+1)^2}{16}=\dfrac{y^2}{9}\\ \Rightarrow & (x+1)^2=\dfrac{16}{9}y^2\\ \Rightarrow & x+1=\pm \dfrac{4}{3}y\\ \Rightarrow & 3x+3=\pm 4y\\ \Rightarrow & 3x \pm 4y=-3 \end{split} Jadi persamaan asimtotnya adalah 3x + 4y = −3 atau 3x − 4y = −3

catatan: kedua jawaban di atas tidak ada di pilihan jawaban

Soal #7
Jika sisa pembagian p(x) = x3 − 2bx2 + c oleh (x − 1) adalah 5 dan q(x) = bx2 − cx + 1 oleh (x − 3) adalah 19, maka c − b = ...

Pembahasan
sisa pembagian p(x) = x3 − 2bx2 + c oleh (x − 1) adalah 5 maka
p(1) = 5
⇔ 1 − 2b + c = 5
⇔ −2b + c = 4 ...(1)

sisa pembagian q(x) = bx2 − cx + 1 oleh (x − 3) adalah 19 maka
q(3) = 19
⇔ 9b − 3c + 1 = 19
⇔ 9b − 3c = 18 ...(2)

Dengan menyelesaikan sistem yang dibentuk dari persamaan (1) dan (2) diperoleh b = 10 dan c = 24. Jadi c − b =14

Soal #8
Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Kode 121 Matematika Saintek
Diketahui suatu lingkaran kecil dengan radius $3\sqrt{2}$ melalui pusat suatu lingkaran besar dengan radius 6. Ruas garis yang menghubungkan dua titik potong lingkaran merupakan diameter dari lingkaran kecil, seperti pada gambar. Luas daerah irisan kedua lingkaran adalah ...

Pembahasan
Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Kode 121 Matematika Saintek
Daerah irisan tersebut terdiri dari dua tembereng lingkaran, oleh karena itu akan dihitung satu persatu kemudian jumlahkan hasilnya.

Bagian pertama
Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Kode 121 Matematika Saintek
Pada gambar di atas daerah berwarna biru merupakan tembereng lingkaran besar. Luasnya diperoleh dari Luas juring DAE dikurangi luas segitiga DAE.

Karena DE merupakan diameter lingkaran kecil maka sudut DAE adalah sudut siku-siku, sehingga luas juring DAE adalah $\dfrac{90^{\circ}}{360^{\circ}}\pi \cdot 6^2=9 \pi$ dan luas segitiga DAE adalah $\dfrac{DA\cdot EA}{2}=\dfrac{6\cdot 6}{2}=18$. Oleh karena itu luas tembereng di atas (warna biru) adalah $9\pi - 18$.

Bagian kedua
Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Kode 121 Matematika Saintek
Daerah berwarna biru di atas merupakan daerah setengah lingkaran yang kecil(karena DE adalah diameter), yang luasnya $\dfrac{1}{2}\pi \cdot (3\sqrt{2})^2 = 9\pi$.

Jadi luas daerah irisan tersebut adalah $9\pi - 18 + 9\pi= 18\pi-18$

Soal #9
Jika $\int_{-4}^4 f(x)(\sin x + 1)\ dx = 8$, dengan $f(x)$ fungsi genap dan $\int_{-2}^4 f(x) dx = 4$, maka $\int_{-2}^0 f(x)\ dx$ adalah

Pembahasan
\begin{split} & \int_{-4}^4 f(x)(\sin x + 1)\ dx = 8\\ \Rightarrow & \int_{-4}^4 f(x) \sin x\ dx + \int_{-4}^4 f(x)\ dx = 8 \end{split} $f(x)$ fungsi genap dan $\sin x$ fungsi ganjil maka $f(x) \sin x$ merupakan fungsi ganjil sehingga $\int_{-4}^4 f(x) \sin x\ dx=0$ dan $\int_{-4}^4 f(x)\ dx = 2 \int_{0}^4 f(x)\ dx$. Oleh karena itu \begin{split} & \int_{-4}^4 f(x) \sin x\ dx + \int_{-4}^4 f(x)\ dx = 8\\ \Rightarrow & 0 + \int_{-4}^4 f(x)\ dx = 8\\ \Rightarrow & \int_{-4}^4 f(x)\ dx = 8\\ \Rightarrow & 2 \int_{0}^4 f(x)\ dx = 8\\ \Rightarrow & \int_{0}^4 f(x)\ dx = 4\\ \Rightarrow & \int_{0}^4 f(x)\ dx = 4 \end{split} Oleh karena itu \begin{split} & \int_{-2}^4 f(x) dx = 4\\ \Rightarrow & \int_{-2}^0 f(x) dx + \int_{0}^4 f(x)\ dx = 4\\ \Rightarrow & \int_{-2}^0 f(x) dx + 4 = 4\\ \Rightarrow & \int_{-2}^0 f(x) dx = 0 \end{split}
Referensi: Fungsi Ganjil dan Genap

Soal #10
$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{4x + 3x\cos 4x}{\sin 4x \cos 4x}=$ ...

Pembahasan
\begin{split} & \lim_{x \to 0} \dfrac{4x + 3x\cos 4x}{\sin 4x \cos 4x}\\ = & \lim_{x \to 0} \dfrac{4x}{\sin 4x \cos 4x} + \frac{3x\cos 4x}{\sin 4x \cos 4x}\\ = & \lim_{x \to 0} \dfrac{4x}{\sin 4x}\frac{1}{\cos 4x} + \frac{3x}{\sin 4x}\frac{\cos 4x}{\cos 4x}\\ = & 1 \cdot 1 + \dfrac{3}{4} \cdot 1\\ = & \dfrac{7}{4} \end{split}

Part 1: nomer 1 - 5
Part 2: nomer 6 - 10
Part 3: nomer 11 - 15

6 komentar

avatar

nomor 6 itu jarak antara (-6,0) & (4,0) kan? kok jadi 10? bukannya -6+4=-2??

avatar

nomor 7 kalau persamaan 1&2 di eliminasi kok hasilnya beda ya? apa tidak boleh pakai eliminasi?

avatar

eh gak jadi deh, udah ketemu

avatar

nomor 10 itu 1/cos4x kenapa bisa jadi 1 ya?

avatar

jika x menuju 0 maka cos 4x akan mendekati cos 4⋅0 = cos 0 = 1, dengan demikian 1/cos 4x akan mendekati 1

avatar

bayangin, -6 itu dikiri sumbu Y dan 4 di kanan sumbu Y. dari titik 0 kekiri 6 dan ke kanan 4 akan membuat jaraknya menjadi 6+4=10

Click to comment