Type something and hit enter

author photo
By On
Pada post sebelumnya telah dibahas mengenai suku banyak $f(x)$ dibagi oleh suku banyak berderajat satu dengan metode horner. Bagaimana jika pembaginya berderajat 2? Apakah bisa menggunakan metode horner? Berikut penjelasannya.

Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-x_1)(x-x_2)$
Telah diketahui bahwa jika suatu suku banyak dibagi suku banyak lain yang berderajat $n$ maka derajat sisa pembagiannya maksimal $n-1$. Oleh karena itu jika suatu suku banyak dibagi oleh $(x-x_1)(x-x_2)$ yang merupakan suku banyak berderajat 2 maka sisa pembagiannya akan berderajat maksimal 1.

Misalkan $f(x)$ dibagi $(x-x_1)$ memberikan hasil $h_1(x)$ dan sisa $s_1$ maka berlaku hubungan $$f(x)=(x-x_1)h_1(x)+s_1\text{ ...(i)}$$ Kemudian jika $h_1(x)$ dibagi $(x-x_2)$ memberikan hasil $h_2(x)$ dan sisa $s_2$ maka $$h_1(x)=(x-x_2)h_2(x)+s_2\text{ ...(ii)}$$ Dengan mensubstitusikan persamaan (ii) ke persamaan (i) diperoleh
\begin{split}
f(x) & = (x-x_1)\color{Blue}{h_1(x)}+s_1\\
& = (x-x_1)\color{Blue}{((x-x_2)h_2(x)+s_2)}+s_1\\
& = (x-x_1)(x-x_2)h_2(x)+\color{Red}{(x-x_1)s_2+s_1}
\end{split}
Persamaan terakhir di atas berarti $f(x)$ dibagi $(x-x_1)(x-x_2)$ akan memberikan sisa $s_2(x-x_1)+s_1$

Contoh 1: Tentukan hasil dan sisa pembagian suku banyak $x^3-3x^2+4x-1$ dibagi oleh $x^2+x-2$

Jawaban: Perlu diketahui bahwa pembagi $x^2+x-2$ dapat dituliskan sebagai $(x-1)(x+2)$. Pilih $(x-1)$ sebagai pembagi pertama dan $(x+2)$ (Pemilihan ini bisa dilakukan sebaliknya). Pembagiannya dilakukan dengan metode horner seperti di bawah ini
metode horner dengan dua pembagi linier
Pada metode horner di atas diperoleh hasil pembagiannya $x-4$ dan sisa pembagian $10(x-1)+1=10x-9$

Metode Horner Kino
Di atas telah dibahas tentang suku banyak yang dibagi oleh suku banyak lain yang berderajat 2 yang bisa difaktorkan menjadi faktor-faktor linier. Bagaimana jika pembaginya suku banyak berderajat 2 yang tidak bisa difaktorkan? (dalam hal ini tidak bisa difaktorkan menjadi faktor real). Untuk menyelesaikannya digunakan metode horner Kino.

Misalkan suku banyak $f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$ akan dibagi oleh $px^2+qx+r$. Suku banyak yang dibagi tidak harus berderajat 5 seperti $f(x)$, bisa juga berderajat lebh dari 5. Susun metode horner kino sebagai berikut
metode horner kino
$j_1$, $j_2$, ... merupakan jumlah dari semua bilangan di atasnya. Pada pembagian di atas, $j_3$ dan $j_4$ merupakan koefisien sisa pembagian dan $a$, $j_1$ dan $j2$ merupakan koefisien dari hasil pembagian.

Contoh 2: Tentukan hasil dan sisa pembagian suku banyak $x^4-3x^3+4x^2-1$ dibagi oleh $2x^2-6x+2$

Jawaban:
contoh horner kino
Dari ilustrasi di atas diperoleh sisa pembagian $9x-4$ dan hasil pembagian $1x^2+0x+3=x^2+3$

1 komentar:

Click to comment