Type something and hit enter

author photo
By On
Soal #56
Jika $A=\begin{pmatrix}2a & 1\\ 6 & 1\end{pmatrix}$ merupakan matrix yang mempunyai invers, maka jumlah semua nilai $a$ yang mungkin sehingga $\det \left(-\dfrac{1}{2}A \right)=\det(A^{-1})$ adalah

Pembahasan
Karena $\det A = 2a-6$ maka \begin{split} & \det \left(-\dfrac{1}{2}A \right)=\det(A^{-1})\\ \Rightarrow & \dfrac{1}{4} \det A = \dfrac{1}{\det A}\\ \Rightarrow & \dfrac{1}{4} (2a-6) = \dfrac{1}{2a-6}\\ \Rightarrow & (2a-6)^2 = 4\\ \Rightarrow & 2a-6 = \pm 2\\ \Rightarrow & 2a = 6 \pm 2\\ \Rightarrow & a = 3 \pm 1\\ \Rightarrow & a = 4 \text{ atau } a=2 \end{split} Jadi jumlah semua nilai $a$ yang mungkin adalah $4+2=6$

Soal #57
Diketahui titik minimum fungsi kuadrat $y=x^2+bx+c$ adalah $\left( \frac{5}{2},-\frac{1}{4} \right)$. Jika grafik fungsi tersebut melalui titik $(p,0)$ dan $(q,0)$, maka nilai $p^2q+pq^2$ adalah ...

Pembahasan
Karena koefisien dari $x^2$ adalah 1 dan titik minimumnya $\left( \frac{5}{2},-\frac{1}{4} \right)$ maka fungsi kuadrat tersebut adalah \begin{split} & y=\left( x-\frac{5}{2} \right)^2-\frac{1}{4}\\ \Rightarrow & y=x^2-5x+\frac{25}{4}-\frac{1}{4}\\ \Rightarrow & y=x^2-5x+\frac{24}{4}\\ \Rightarrow & y=x^2-5x+6 \end{split} Titik potong dengan sumbu X terjadi ketika $y=0$ yaitu $x^2-5x+8=0$ dengan $p$ dan $q$ adalah akar-akarnya. Sehingga $p+q=5$ dan $pq=6$, Jadi $p^2q+pq^2=pq(p+q)=6 \cdot 5=30$

Referensi:
Persamaan Kuadrat
Fungsi Kuadrat

Soal #58
Jika grafik fungsi $y=4-x^2$ memotong sumbu-X di titik A dan B, serta memotong sumbu-Y di titik C, maka luas segitiga ABC adalah ...

Pembahasan
$y=4-x^2$ memotong sumbu X di (2,0) dan (−2,0) dan memotong sumbu Y di (0,4)
Soal dan Pembahsan SBMPTN 2015 kode 602: Matematika TKPA
maka luas segitiga di atas adalah $\dfrac{4 \times 4}{2}=8$

Soal #59
Suatu perusahaan memproduksi dua jenis produk. Penjualan produk tersebut dilakukan oleh agen yang telah ditunjuk. Untuk penjualan produk A terdapat 20 agen, sedangkan untuk penjualan produk B ada 40 agen. Total keuntungan semua agen dalam satu bulan terakhir sebeesar 360 juta rupiah. Jika rata-rata keuntungan agen yang menjual produk A adalah sebesar dua kali rata-rata keuntungan agen yang menjual produk B, maka rata-rata keuntungan yang menjual produk A adalah ...

Pembahasan
Misalkan total keuntungan semua agen produk A adalah $a$ maka total keuntungan agen produk B adalah $b=360-a$.

rata-rata keuntungan agen yang menjual produk A adalah sebesar dua kali rata-rata keuntungan agen yang menjual produk B maka \begin{split} & \frac{a}{20}=2\cdot \frac{b}{40}\\ \Rightarrow & \frac{a}{20}=2\cdot \frac{360-a}{40}\\ \Rightarrow & \frac{a}{20}=\frac{360-a}{20}\\ \Rightarrow & a=360-a\\ \Rightarrow & 2a=360\\ \Rightarrow & a=180 \end{split} Jadi rata-rata keuntungan yang menjual produk A adalah $\dfrac{180}{20}=9$ juta rupiah

Soal #60
Empat buku berjudul Kombinatorika dan dua buku berjudul Statistika akan disusun di lemari buku dalam satu baris. Misalkan C adalah kejadian susuanan buku sehingga terdapat tiga atau lebih buku dengan judul yang sama tersusun secara berurutan. Jika buku dengan judul yang sama tidak dibedakan, maka peluang kejadian C adalah...

Pembahasan
Banyak cara menyusun keenam buku tersebut jika judul sama tidak dibedakan adalah $\dfrac{6!}{4!\cdot 2!}=15$

3 buku matematika berdekatan dan 1 buku matematika terpisah dengan yang lain maka terdapat 4 objek (3 kombinatorika, 1 kombinatorika, 1 statistika, 1 statistika). Total banyak cara menyusun keempat objek tersebut sebanyak $\dfrac{4!}{2! \cdot 2!} = 12$. Jika semua buku kombinatorika berdekatan maka banyak cara menyusunnya sebanyak $\dfrac{3!}{2!}=3$. Akibatnya banyak cara menyusun agar 3 kombinatorika terpisah dengan 1 kombinatorika adalah $12-3=9$ cara

Jadi $P(C) = \dfrac{9}{15}=\dfrac{3}{5}$

Sebelumnya:
Bagian 1: Nomor 46-50
Bagian 2: Nomor 51-55

Click to comment