Type something and hit enter

author photo
By On
Soal #11
Jika fungsi $f(x)=-\sqrt{\cos^2 x + \dfrac{x}{2}+\pi}$, $-\pi < x < 2\pi$ turun pada interval ...

Pembahasan
$f(x)$ turun jika $f'(x) < 0$
\begin{split} & -\dfrac{1}{2}\left( \cos^2 x + \dfrac{x}{2}+\pi \right)^{-1/2} \left(-2\cos x \sin x + \dfrac{1}{2} \right) < 0\\ \Rightarrow & -\dfrac{-2\cos x \sin x + \dfrac{1}{2}}{2\sqrt{\cos^2 x + \dfrac{x}{2}+\pi}} < 0\\ \Rightarrow & \dfrac{-2\cos x \sin x + \dfrac{1}{2}}{2\sqrt{\cos^2 x + \dfrac{x}{2}+\pi}} > 0 \end{split}
Penyebut ruas kiri di atas selalu lebih dari 0 akibatnya \begin{split} & -2\cos x \sin x + \dfrac{1}{2} > 0\\ \Rightarrow & -\sin 2x > -\dfrac{1}{2}\\ \Rightarrow & \sin 2x < \dfrac{1}{2}\\ \Rightarrow & \sin 2x < \dfrac{1}{2} \end{split} Dengan menguji pilihannya diperoleh $\dfrac{-7\pi}{12} < x < \dfrac{\pi}{12}$

Soal #12
Pada interval $0 \leq x \leq c$, luas daerah di bawah kurva $y=-x^2$ dan di atas garis $y=-3x$ sama dengan luas daerah di atas $y=-x^2$ dan di bawah garis $y=-3x$. Nilai $c=\ldots$
SOAL DAN PEMBAHASAN SBMPTN 2015 KODE MATEMATIKA


Pembahasan
Titik potong antara kurva dan garis dapat ditentukan menggunakan cara \begin{split} & -x^2=-3x\\ \Rightarrow & -x^2+3x=0\\ \Rightarrow & -x(x-3)=0\\ \Rightarrow & x=0 \vee x=3 \end{split} Karena L1 = L2 maka \begin{split} & \int_0^3 -x^2+3x\ dx = \int_3^c -3x+x^2\ dx\\ \Rightarrow & \left[ -\frac{1}{3}x^3+\frac{3}{2}x^2 \right]_0^3 = \left[ -\frac{3}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3 \right]_3^c\\ \Rightarrow & \left(-9+\frac{27}{2}\right)-(0) = \left(-\frac{3}{2}c^2+\frac{1}{3}c^3\right)-\left(-\frac{27}{2}+9\right)\\ \Rightarrow & \frac{9}{2} = -\frac{3}{2}c^2+\frac{1}{3}c^3+\frac{9}{2}\\ \Rightarrow & \frac{3}{2}c^2 = \frac{1}{3}c^3\\ \Rightarrow & 9c^2 = 2c^3\\ \Rightarrow & 9 = 2c\\ \Rightarrow & c = \frac{9}{2}=4\frac{1}{2} \end{split}

Soal #13
Banyak kurva $Ax^2-\left(\dfrac{By}{2}\right)^2=0$ dengan A dan B dua bilangan berbeda yang dipilih dari {−1,0,1,3,6} adalah ...

Pembahasan
\begin{split} & Ax^2-\left(\dfrac{By}{2}\right)^2=0\\ \Rightarrow & Ax^2=\left(\dfrac{By}{2}\right)^2\\ \Rightarrow & Ax^2=\dfrac{B^2}{4}y^2\\ \Rightarrow & 4Ax^2=B^2y^2\\ \end{split} Jika A = 0 dan B ≠ 0 maka satu-satunya kurva yang terbentuk hanya y = 0 ...(1)

Jika A ≠ 0 dan B = 0 maka satu-satunya kurva yang terbentuk hanya x = 0 ...(2)

Jika A = −1, B = 1 maka kurva yang terbentuk $-4x^2=y^2$ ...(3)

Jika A = −1, B = 3 maka kurva yang terbentuk $-4x^2=9y^2$ ...(4)

Jika A = −1, B = 6 maka kurva yang terbentuk $-4x^2=36y^2 \Rightarrow -x^2=9y^2$ ...(5)

Jika A = 1, B = -1 maka kurva yang terbentuk $4x^2=y^2$ ...(6)

Jika A = 1, B = 3 maka kurva yang terbentuk $4x^2=9y^2$ ...(7)

Jika A = 1, B = 6 maka kurva yang terbentuk $4x^2=36y^2 \Rightarrow x^2=9y^2$ ...(8)

Jika A = 3, B = -1 atau 1 maka kurva yang terbentuk $12x^2=y^2$ ...(9)

Jika A = 3, B = 6 maka kurva yang terbentuk $12x^2=36y^2 \Rightarrow x^2=3y^2$ ...(10)

Jika A = 6, B = -1 atau 1 maka kurva yang terbentuk $24x^2=y^2$ ...(11)

Jika A = 6, B = 3 maka kurva yang terbentuk $24x^2=9y^2 \Rightarrow 8x^2=3y^2$ ...(12)

Jadi ada total 12 kemungkinan kurva berbeda yang mungkin dapat dibuat

Soal #14
Dua kelas masing-masing terdiri atas 30 siswa. Satu siswa dipilih dari tiap-tiap kelas. Peluang terpilih keduanya perempuan adalah 23/180. Peluang terpilih keduanya laki-laki adalah ...

Pembahasan
Misalkan LA = banyak siswa laki di kelas A, PA = banyak siswa perempuan di kelas A, LB = banyak siswa laki di kelas B, PB = banyak siswa perempuan di kelas B.

Peluang terpilih keduanya perempuan adalah 23/180 berarti $$\frac{P_A}{30} \cdot \frac{P_B}{30} = \frac{23}{180} \Rightarrow \frac{P_A}{30} \cdot \frac{P_B}{30} = \frac{23 \cdot 5}{900}$$ Dari persamaan di atas dapat diketahui PA = 23 dan PB = 5. Akibatnya LA = 7 dan LB = 25, Jadi peluang terpilih keduanya laki-laki adalah $\dfrac{7}{30} \cdot \dfrac{25}{30} = \dfrac{7}{36}$

Soal #15
Diketahui deret geometri takhingga mempunyai jumlah sama dengan nilai maksimum fungsi $f(x)=-\dfrac{1}{3}x^3+x+c$ untuk −1 ≤ x ≤ 2. Selisih suku kedua dan suku pertama deret geometri tersebut adalah −2f'(0). Jika rasio deret geometri tersebut $1-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$, maka nilai c adalah ...

Pembahasan
turunan dari f(x) adalah $f'(x) = -x^2 + 1$. f(x) maksimum jika $-x^2 + 1=0$ yang dipenuhi oleh x = −1 atau x = 1. Karena kedua nilai x ada pada interval −1 ≤ x ≤ 2, maka akan disubsitusikan nilai x = −1, x = 1 dan x = 2 ke f(x) kemudian pilih nilai maksimumnya.

Jika x = −1 maka $f(-1)=\dfrac{1}{3}-1+c=c-\dfrac{2}{3}$
Jika x = 1 maka $f(1)=-\dfrac{1}{3}+1+c=c+\dfrac{2}{3}$
Jika x = 2 maka $f(2)=-\dfrac{8}{3}+2+c=c-\dfrac{2}{3}$

Sehingga nilai maksimumnya adalah $c+\dfrac{2}{3}$.

Selisih suku kedua dan suku pertama deret geometri tersebut adalah −2f'(0) = −2(−0^2 + 1) = −2 berarti \begin{split} & ar-a=-2\\ \Rightarrow & a(r-1)=-2\\ \Rightarrow & a\left(1-\dfrac{1}{\sqrt{2}}-1\right)=-2\\ \Rightarrow & a\left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)=-2\\ \Rightarrow & a=2\sqrt{2} \end{split} deret geometri takhingga mempunyai jumlah sama dengan nilai maksimum fungsi yaitu $c+\dfrac{2}{3}$ \begin{split} & \frac{a}{1-r}=c+\dfrac{2}{3}\\ \Rightarrow & \frac{a}{1-\left(1-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)}=c+\dfrac{2}{3}\\ \Rightarrow & \frac{a}{\dfrac{1}{\sqrt{2}}}=c+\dfrac{2}{3}\\ \Rightarrow & \frac{2\sqrt{2}}{\dfrac{1}{\sqrt{2}}}=c+\dfrac{2}{3}\\ \Rightarrow & 2\sqrt{2}\sqrt{2}=c+\dfrac{2}{3}\\ \Rightarrow & 4=c+\dfrac{2}{3}\\ \Rightarrow & c=4-\dfrac{2}{3}\\ \Rightarrow & c=\dfrac{10}{3} \end{split}

Sebelumnya:
Bagian 1: Nomor 1-5
Bagian 2: Nomor 6-10

Click to comment