Type something and hit enter

author photo
By On
Soal #6
Sisa pembagian $A(x-2)^{2014}+(x-1)^{2015}-(x-2)^2$ oleh $x^2-3x+2$ adalah $Bx-1$. Nilai $5A+3B$ adalah ...

Pembahasan
Dengan menggunakan Teorema sisa suku banyak didapatkan hubungan
$$A(x-2)^{2014}+(x-1)^{2015}-(x-2)^2 = h(x)(x^2-3x+2)+Bx-1$$
Tetapi karena $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$ maka bentuk di atas dapat ditulis sebagai
$$A(x-2)^{2014}+(x-1)^{2015}-(x-2)^2 = h(x)(x-1)(x-2)+Bx-1$$
Substitusikan $x=1$ ke persamaan di atas diperoleh
\begin{split} & A(1-2)^{2014}+(1-1)^{2015}-(1-2)^2 = h(1)(1-1)(1-2)+B-1\\ \Rightarrow & A(-1)^{2014}+(0)^{2015}-(-1)^2 = h(1)(0)(-1)+B-1\\ \Rightarrow & A+0-1 = B-1\\ \Rightarrow & A = B \end{split}
Jika disubstitusikan $x=2$ akan diperoleh
\begin{split} & A(2-2)^{2014}+(2-1)^{2015}-(2-2)^2 = h(2)(2-1)(2-2)+2B-1\\ \Rightarrow & A(0)^{2014}+(1)^{2015}-(0)^2 = h(2)(1)(0)+2B-1\\ \Rightarrow & 1 = 2B-1\\ \Rightarrow & B = 1\\ \end{split}
Jadi $5A+3B=5+3=8$

Soal #7
Nilai $c$ yang memenuhi $(0.25)^{(3x^2-2x-4)} < (0.0625)^{(x^2+x-c)}$ adalah ...

Pembahasan
Dengan menggunakan aturan eksponen dan pertidaksamaan eksponen \begin{split} & (0.25)^{(3x^2-2x-4)} < (0.0625)^{(x^2+x-c)}\\ \Rightarrow & (0.25)^{(3x^2-2x-4)} < (0.25^2)^{(x^2+x-c)}\\ \Rightarrow & (0.25)^{(3x^2-2x-4)} < (0.25)^{(2x^2+2x-2c)} \end{split} Karena basis di ruas kiri dan kanan sama tetapi kurang dari 1 maka pertidaksamaan di atas dapt disederhanakan menjadi \begin{split} & 3x^2-2x-4 > 2x^2+2x-2c\\ \Rightarrow & x^2 - 4x - 4+2c > 0 \end{split} Agar pertidaksamaan selalui terpenuhi untuk semua $x$ maka haruslah diskriminan ruas kiri kurang dari 0 \begin{split} D < 0 & \Rightarrow (-4)^2-4\cdot 1\cdot (-4+2c) < 0\\ & \Rightarrow 16+16-8c < 0\\ & \Rightarrow -8c < -32\\ & \Rightarrow c > 4 \end{split}
Soal #8
Jika $x_1$, $x_2$ adalah akar-akar $25^{2x}-5^{2x+1}-2\cdot 5^{2x+3}+a=0$ di mana $x_1+x_2=2 \cdot {}^5\!\log 2$, maka $a=\ldots$

Pembahasan
Dengan menggunakan aturan eksponen \begin{split} & 25^{2x}-5^{2x+1}-2\cdot 5^{2x+3}+a=0\\ \Rightarrow & (5^{2x})^2-5\cdot 5^{2x}\cdot 5^1-2\cdot 5^{2x}\cdot 5^3+a=0\\ \Rightarrow & (5^{2x})^2-25\cdot 5^{2x}-250\cdot 5^{2x}+a=0 \end{split} Misalkan $y=5^{2x}$ maka persamaan di atas akan menjadi $$y^2-25y-250y+a=0$$ Dengan menggunakan rumus hasil kali akar persamaan kuadrat di atas diperoleh \begin{split} & y_1y_2=a\\ \Rightarrow & 5^{2x_1} \cdot 5^{2x_2} = a\\ \Rightarrow & 5^{2x_1+2x_2} = a\\ \Rightarrow & 2x_1+2x_2 = {}^5\!\log a\\ \Rightarrow & 2(x_1+x_2) = {}^5\!\log a \end{split} Karena $x_1+x_2=2 \cdot {}^5\!\log 2$ maka persamaan di atas akan menjadi \begin{split} & 2(2 \cdot {}^5\!\log 2) = {}^5\!\log a\\ \Rightarrow & 4 \cdot {}^5\!\log 2 = {}^5\!\log a\\ \Rightarrow & {}^5\!\log 2^4 = {}^5\!\log a\\ \Rightarrow & 2^4 = a\\ \Rightarrow & a = 16 \end{split}
Soal #9
Nilai $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{(\sqrt{5-x}-2)(\sqrt{2-x}+1)}{1-x}$ adalah ...

Pembahasan
\begin{split} & \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{(\sqrt{5-x}-2)(\sqrt{2-x}+1)}{1-x}\\ = & \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{(\sqrt{5-x}-2)}{1-x}\cdot (\sqrt{2-x}+1)\\ = & \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{(\sqrt{5-x}-2)}{1-x} \cdot \dfrac{(\sqrt{5-x}+2)}{(\sqrt{5-x}+2)}\cdot (\sqrt{2-x}+1)\\ = & \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{5-x-4}{(1-x)(\sqrt{5-x}+2)} \cdot (\sqrt{2-x}+1)\\ = & \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{1-x}{(1-x)(\sqrt{5-x}+2)} \cdot (\sqrt{2-x}+1)\\ = & \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{1}{(\sqrt{5-x}+2)} \cdot (\sqrt{2-x}+1)\\ = & \dfrac{1}{(\sqrt{5-1}+2)} \cdot (\sqrt{2-1}+1)\\ = & \dfrac{1}{(2+2)} \cdot (1+1)\\ = & \dfrac{1}{4} \cdot 2\\ = & \dfrac{1}{2} \end{split}
Soal #10
Jika u1, u2, u3, ... adalah barisan geometri yang memenuhi u3u6 = x, dan u2u4 = y, maka x/y = ...

Pembahasan
\begin{split} \frac{x}{y} & = \frac{u_3-u_6}{u_2-u_4}\\ & = \frac{ar^2-ar^5}{ar-ar^3}\\ & = \frac{ar^2(1-r^3)}{ar(1-r^2)}\\ & = \frac{r(1-r^3)}{1-r^2}\\ & = \frac{r(1-r)(1+r+r^2)}{(1-r)(1+r)}\\ & = \frac{r(1+r+r^2)}{(1+r)}\\ & = \frac{r+r^2+r^3}{1+r} \end{split}
Sebelumnya:
Bagian 1: Nomor 1-5

Selanjutnya:
Bagian 3: Nomor 11-15

Click to comment