Type something and hit enter

author photo
By On
Soal #1
Misalkan A dan B pada lingkaran $x^2+y^2-6x-2y+k=0$ sehingga garis singgung lingkaran di titik A dan B berpotongan di C(8,1). Jika luas segi empat yang melalui A, B, C dan pusat lingkaran adalah 12, maka k = ...

Pembahasan
Lingkaran tersebut memiliki pusat $\left(-\frac{1}{2}\cdot -6,-\frac{1}{2}\cdot -2\right)=(3,1)$ dan panjang jari-jari $r=\sqrt{3^2+1^2-k}=\sqrt{10-k}$ seperti diilustrasikan dengan gambar di bawah ini

SOAL DAN PEMBAHASAN SBMPTN 2015 MATEMATIKA IPA

Karena segitiga OAC adalah segitiga siku-siku di A maka \begin{split} AC & =\sqrt{OC^2-OA^2}\\ & =\sqrt{5^2-(\sqrt{10-k})^2}\\ & =\sqrt{15+k} \end{split} Karena AP merupakan garis singgung maka AP tegak lurus AC sehingga luas daerah APC = 12/2 = 6 yang juga bisa dihitung menggunakan rumus luas segitiga \begin{split} & \frac{AP \times AC}{2}=6\\ \Rightarrow & \frac{\sqrt{10-k} \sqrt{15+k}}{2}=6\\ \Rightarrow & \sqrt{10-k}\sqrt{15+k}=12\\ \Rightarrow & (10-k)(15+k)=144\\ \Rightarrow & -k^2-5k+150=144\\ \Rightarrow & -k^2-5k+6=0\\ \Rightarrow & k^2+5k-6=0\\ \Rightarrow & k=-6 \text{ atau } k=1 \end{split}
Soal #2
Jika $\tan (2x+45^{\circ})=a$ dan $\tan (x+30^{\circ})=b$, $ab \notin \{1,-1,\sqrt{2},-\sqrt{2} \}$, maka $\tan(3x+75^{\circ})\tan(x+15^{\circ})=\ldots$

Pembahasan
Misalkan $2x+45^{\circ}=\alpha$ dan $x+30^{\circ}=\beta$ maka \begin{split} & \tan(3x+75^{\circ})\tan(x+15^{\circ})\\ = & \tan(\alpha + \beta)\tan(\alpha - \beta)\\ = & \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1-\tan \alpha \tan \beta} \cdot \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1+\tan \alpha \tan \beta}\\ = & \frac{a + b}{1-ab} \cdot \frac{a - b}{1+ab}\\ = & \frac{a^2 - b^2}{1-a^2b^2} \end{split}
Soal #3
Misalkan \(A(t^2+1,t)\) dan \(B(1,2)\), sehingga panjang proyeksi \(\overrightarrow{OA}\) terhadap \(\overrightarrow{OB}\) kurang dari \(\dfrac{4}{\sqrt{5}}\), maka nilai t yang mungkin adalah ...

Pembahasan
\begin{split} &\frac{\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}}{\left | \overrightarrow{OB} \right |} < \frac{4}{\sqrt{5}}\\ \Rightarrow & \frac{\begin{pmatrix} t^2+1\\t \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\2 \end{pmatrix}}{\sqrt{1^2+2^2}} < \frac{4}{\sqrt{5}} \\ \Rightarrow & \frac{t^2+1+2t}{\sqrt{5}} < \frac{4}{\sqrt{5}} \\ \Rightarrow & t^2+2t+1 < 4 \\ \Rightarrow & t^2+2t-3 < 0 \\ \Rightarrow & (t+3)(t-1) < 0 \\ \Rightarrow & -3 < t < 1 \end{split}
Referensi: Pertidaksamaan

Soal #4
Pencerminan garis y = −x + 2 terhadap y = 3 menghasilkan garis ...

Pembahasan
Jika titik (x,y) dicerminkan terhadap y = 3 akan menghasilkan bayangan (x',y') dengan x' = x dan y' = 2⋅3 − y = 6 − y. Akibatnya x = x' dan y = 6 − y'. Kemudian substitusikan nilai x dan y tersebut ke persamaan garis sehingga diperoleh persamaan bayangan 6 − y' = −x' + 2 atau y' = x + 4

Soal #5
Pada kubus ABCD.EFGH, P adalah pada EH dengan EP : PH = 2 : 1 dan Q pada GH dengan GQ : QH = 2 : 1. Perpanjangan AP dan CQ berpotongan di perpanjangan DH di titik R. Jika panjang rusuk kubus adalah 6, maka volume ACD.PQH adalah ...

SOAL DAN PEMBAHASAN SBMPTN 2015 MATEMATIKA SAINTEK


Pembahasan
Perhatikan bahwa segitiga RQH sebangun dengan segitiga CQG dengan perbandingan 1 : 2. Karena panjang rusuknya 6 maka haruslah HQ = 2 dan QG = 4. Akibat yang lain juga $$\frac{RH}{GC}={1}{2}$$ karena GC = 6 maka RH = $\frac{1}{2}$ GC = 3.

Volume PQH.R = $\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot PH \cdot HQ \cdot HR = \frac{1}{6} 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2$

Volume ACD.R = $\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot AD \cdot DC \cdot DR = \frac{1}{6} 6 \cdot 6 \cdot 9 = 54$

Jadi volume ACD.PQH = 54 − 2 = 52

Selanjutnya:
Bagian 2: Nomor 6-10
Bagian 3: Nomor 11-15

Click to comment