Type something and hit enter

author photo
By On
Soal #21
Soal dan Pembahasan UN SMA IPA 2016: Matematika
Sebuah kapal mulai bergerak dari pelabuhan A pada pukul 07.00 dengan arah 030° dan tiba di pelabuhan B setelah 4 jam bergerak. Pukul 12.00 kapal bergerak kembali dari pelabuhan B menuju C dengan memutar haluan 150° dan tiba di pelabuhan C pukul 20.00. Kecepatan rata-rata kapal 50 mil/jam. Jarak tempuh dari pelabuhan C ke pelabuhan A adalah ...

Pembahasan
Dari pelabuhan A ke pelabuhan B selama 4 jam dengan kecepatan 50 mil/jam maka jarak dari A ke B adalah 200 mil. Dari pelabuhan B ke C dengan waktu tempuh selama 8 jam maka jarak dari B ke C adalah 400 mil.
Soal dan Pembahasan UN SMA IPA 2016: Matematika
Jarak dari A ke C dapat dihitung menggunakan aturan cosinus
\begin{split} AC^2 & = AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot AC \cdot \cos \angle ABC\\ & = 200^2+400^2-2\cdot 200\cdot 400 \cdot \cos 60^{\circ}\\ & = 40000+160000-2\cdot 200\cdot 400 \cdot \frac{1}{2}\\ & = 200000-80000\\ & = 120000 \end{split}
Jadi panjang $AC=\sqrt{120000}=\sqrt{40000\cdot 3}=200\sqrt{3}$

Soal #22
Diketahui kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 4 cm. Jarak A ke diagonal FH adalah

Pembahasan
Soal dan Pembahasan UN SMA IPA 2016: Matematika
Jarak A ke diagonal FH merupakan jarak dari A ke tengah-tengah FH yaitu panjang AI. Segitga AEI merupakan segitiga siku-siku di E dengan $AE=4$ dan $EI=\frac{1}{2}EG=2\sqrt{2}$. Kemudian dengan rumus pythagoras \begin{split} AI^2 & = AE^2+EI^2\\ & = 4^2+(2\sqrt{2})^2\\ & = 16+8\\ & = 24 \end{split} Jadi panjang $AI=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$ cm

Soal #23
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Nilai sinus sudut antara garis CG dan bidang AFH adalah ...

Pembahasan
Soal dan Pembahasan UN SMA IPA 2016: Matematika
Misalkan sudut antara CG dan AFH adalah α, karena CG sejajar dengan AE maka sudut antara AE dan AFH juga sebesar α = ∠AEI. $AE=8$ dan $EI=4\sqrt{2}$, kemudian dengan rumus pythagoras diperoleh $AI=4\sqrt{6}$.

Dengan rumus perbandingan sinus pada segitiga siku-siku diperoleh $\sin \alpha = \dfrac{EI}{AI} = \dfrac{4\sqrt{2}}{4\sqrt{6}} = \dfrac{1}{3}\sqrt{3}$

Soal #24
Persamaan bayangan kurva $y=4x^2+4x-1$ oleh dilatasi dengan pusat (0,0) dan faktor skala 2 dilanjutkan transalasi $T=\begin{pmatrix}-3\\-1\end{pmatrix}$ adalah ...

Pembahasan
Misalkan sebarang titik pada kurva adalah (x,y) dan bayangannya adalah (x',y').

Titik (x,y) didilatasi dengan pusat (0,0) dan faktor skala 2 akan menghasilkan titik (2x,2y).

Titik (2x,2y) ditranslasi oleh T akan menghasilkan titik (2x−3,2y−1) dan titik (2x−3,2y−1)=(x',y').

Ini artinya $$x=\frac{x'+3}{2}$$ $$y=\frac{y'+1}{2}$$ Substitusikan ke persamaan kurva diperoleh
\begin{split} & \frac{y'+1}{2}=4\left(\frac{x'+3}{2}\right)^2+4\left(\frac{x'+3}{2}\right)-1\\ \Rightarrow & \frac{y'+1}{2}=x'^2+6x'+9+2x'+6-1\\ \Rightarrow & \frac{y'+1}{2}=x'^2+8x'+14\\ \Rightarrow & y'+1=2x'^2+16x'+28\\ \Rightarrow & y'=2x'^2+16x'+27 \end{split}
Jadi persamaan bayangannya adalah $y=2x^2+16x+27$

Soal #25
Salah satu persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2-6x-4y+11=0$ yang sejajar garis x + y − 4 = 0 adalah ...

Pembahasan
Garis x + y − 4 = 0 memiliki gradien −1. Karena garis singgung sejajar maka gradien garis singgung juga −1.

Lingkaran dengan persamaan $x^2+y^2-6x-4y+11=0$ memiliki pusat di titik $(a,b)=(3,2)$ dengan panjang jari-jari $r=\sqrt{3^2+2^2-11}=\sqrt{2}$.

Persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien m dapat ditentukan menggunakan rumus $$y-b=m(x-a) \pm r\sqrt{1+m^2}$$ Sehingga
\begin{split} & y-2=-1(x-3) \pm \sqrt{2}\sqrt{1+(-1)^2}\\ \Rightarrow & y-2=-x+3 \pm \sqrt{2}\sqrt{2}\\ \Rightarrow & y=-x+5 \pm 2\\ \Rightarrow & x+y-5 \pm 2 \end{split}
Jadi persamaan garis singgungnya adalah $x+y-3=0$ atau $x+y-7=0$

Soal #26
Nilai dari $\lim\limits_{x \to 3} \left(\sqrt{x^2-2x+13}-(2-x)\right)=\ldots$

Pembahasan
\begin{split} & \lim_{x \to 3} \left(\sqrt{x^2-2x+13}-(2-x)\right)\\ = & \sqrt{3^2-2\cdot 3+13}-(2-3)\\ = & \sqrt{16}-(-1)\\ = & 4+1=5 \end{split}

Soal #27
Nilai dari $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{4x \sin 2x}{\cos 4x - \cos 2x}=\ldots$

Pembahasan
Dengan menggunakan rumus penjumlahan ke perkalian trigonometri ubah bentuk $\cos 4x - \cos 2x$ menjadi bentuk perkalian \begin{split} & \cos 4x - \cos 2x\\ = & -2 \sin \left(\dfrac{4x + 2x}{2}\right) \sin \left( \dfrac{4x - 2x}{2}\right)\\ = & -2 \sin 3x \sin x \end{split} Jadi \begin{split} & \lim_{x \to 0} \dfrac{4x \sin 2x}{\cos 4x - \cos 2x}\\ = & \lim_{x \to 0} \dfrac{4x \sin 2x}{-2 \sin 3x \sin x}\\ = & \lim_{x \to 0} \dfrac{4}{-2} \cdot \dfrac{x}{\sin 3x}\cdot \dfrac{\sin 2x}{\sin x}\\ = & -2 \cdot \dfrac{1}{3}\cdot 2\\ = & -\dfrac{4}{3} \end{split}

Soal #28
Turunan pertama dari $f(x)=\cos^5(4x-2)$ adalah ...

Pembahasan
Misalkan $f(x)=u^5$ dengan $u=\cos(v)$, $v=4x-2$ maka
\begin{split} \frac{df}{dx} & = \frac{df}{du} \cdot \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx}\\ & = 5 u^4 \cdot -\sin v \cdot 4\\ & = -20 \cos^4 (4x-2) \cdot \sin (4x-2)\\ & = -10 \cos^3 (4x-2) \cdot 2 \sin (4x-2) \cos (4x-2)\\ & = -10 \cos^3 (4x-2) \sin (8x-4) \end{split}

Soal #29
Persamaan garis yang menyinggung kurva $y=x^3-4x^2+3x-5$ pada titik yang berabsis −1 adalah ...

Pembahasan
Jika absis −1 maka ordinatnya $y=(-1)^3-4(-1)^2+3(-1)-5=-13$, ini berarti titik singgungnya di (−1,−13).

Gradien garis singgungnya adalah nilai turunan pertama di x = −1 $$y'=3x^2-8x+3$$ Substitusikan x = −1 ke turunan di atas diperoleh gradien m = 14

Kemudian dengan rumus persamaan garis didapatkan garis singgungnya \begin{split} & y+13=14(x+1)\\ \Rightarrow & y=14x+1 \end{split}

Soal #30
Soal dan Pembahasan UN SMA IPA 2016: Matematika
Sebidang tanah akan dibatasi oleh pagar dengan menggunakan kawat berduri seperti pada gambar. Batas tanah yang dibatasi pagar adalah adalah yang tidak bertembok. Kawat yang tersedia 800 m. Berapakah luas maksimum yang dapat dibatasi oleh pagar yang tersedia?

Pembahasan
Misalkan panjang tanah yang dipagari adalah $p$ dan lebarnya $l$. Karena tembok tidak dipagari maka keliling tanah yang dipagari adalah $p+2l$. Tetapi pagarnya terdiri atas 4 lapis kawat, ini berarti panjang panjang kawat yang digunakan $4p+8l$ sehingga $$4p+8l=800 \Rightarrow p=200-2l$$ Luas tanah $L=pl=(200-2l)l=200l-2l^2$, luas akan maksimum jika $L'=0$ yaitu \begin{split} & 200-4l=0\\ \Rightarrow & 200=4l\\ \Rightarrow & l=50 \end{split} Agar luas maksimum substitusikan $l=50$ ke rumus luasnya yaitu $L=(200-2\cdot 50)50=5000$

Sebelumnya :
Bagian 1
Bagian 2

Selanjutnya :
Bagian 4

2 komentar

avatar

Pembahasan soal #30 salah seharusnya luas maksimumnya 5000 m^2. Kesalahan di p= 200-2l.

avatar

Terima kasih sudah mengoreksi :)

Click to comment